数学苏教版必修5 正弦、余弦定理及应用.doc

用心爱心专心116号编辑正弦、余弦定理及应用一．课标要求：（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索掌握正弦定理、余弦定理并能解决一些简单的三角形度量问题；（2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。二．命题走向对本讲内容的考察主要涉及三角形的边角转化、三角形形状的判断、三角形内三角函数的求值以及三角恒等式的证明问题立体几何体的空间角以及解析几何中的有关角等问题。今后高考的命题会以正弦定理、余弦定理为知识框架以三角形为主要依托结合实际应用问题考察正弦定理、余弦定理及应用。题型一般为选择题、填空题也可能是中、难度的解答题。三．要点精讲1．直角三角形中各元素间的关系：如图在△ABC中C＝90°AB＝cAC＝bBC＝a。（1）三边之间的关系：a2＋b2＝c2。（勾股定理）（2）锐角之间的关系：A＋B＝90°；（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义）sinA＝cosB＝cosA＝sinB＝tanA＝。2．斜三角形中各元素间的关系：如图6-29在△ABC中A、B、C为其内角a、b、c分别表示A、B、C的对边。（1）三角形内角和：A＋B＋C＝π。（2）正弦定理：在一个三角形中各边和它所对角的正弦的比相等。。（R为外接圆半径）（3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC。3．三角形的面积公式：（1）△＝aha＝bhb＝chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）；（2）△＝absinC＝bcsinA＝acsinB；（3）△＝＝＝；（4）△＝2R2sinAsinBsinC。（R为外接圆半径）（5）△＝；（6）△＝；；（7）△＝r·s。4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．解三角形的问题一般可分为下面两种情形：若给出的三角形是直角三角形则称为解直角三角形；若给出的三角形是斜三角形则称为解斜三角形。解斜三角形的主要依据是：设△ABC的三边为a、b、c对应的三个角为A、B、C。（1）角与角关系：A+B+C=π；（2）边与边关系：a+b>cb+c>ac+a>ba－b<cb－c<ac－a>b；（3）边与角关系：正弦定理（R为外接圆半径）；余弦定理c2=a2+b2－2bccosCb2=a2+c2－2accosBa2=b2+c2－2bccosA；它们的变形形式有：a=2RsinA。5．三角形中的三角变换三角形中的三角变换除了应用上述公式和上述变换方法外还要注意三角形自身的特点。（1）角的变换因为在△ABC中A+B+C=π所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=－cosC；tan(A+B)=－tanC。；（2）三角形边、角关系定理及面积公式正弦定理余弦定理。r为三角形内切圆半径p为周长之半。（3）在△ABC中熟记并会证明：∠A∠B∠C成等差数列的充分必要条件是∠B=60°；△ABC是正三角形的充分必要条件是∠A∠B∠C成等差数列且abc成等比数列。四．典例解析题型1：正、余弦定理例1．（1）在中已知cm解三角形；（2）在中已知cmcm解三角形（角度精确到边长精确到1cm）。解析：（1）根据三角形内角和定理；根据正弦定理；根据正弦定理（2）根据正弦定理因为＜＜所以或①当时②当时点评：应用正弦定理时（1）应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时可能有两解的情形；（2）对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。例2．（1）在ABC中已知求b及A；（2）在ABC中已知解三角形解析：（1）∵=cos==∴求可以利用余弦定理也可以利用正弦定理：解法一：∵cos∴解法二：∵sin又∵＞＜∴＜即＜＜∴（2）由余弦定理的推论得：cos；cos；点评：应用余弦定理时解法二应注意确定A的取值范围。题型2：三角形面积例3．在中求的值和的面积。解法一：先解三角方程求出角A的值。又。解法二：由计算它的对偶关系式的值。①②①+②得。①－②得。从而。以下解法略去。点评：本小题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等基本知识着重数学考查运算能力是一道三角的基础试题。两种解法比较起来你认为哪一种解法比较简单呢？例4．（06年湖南）已知ΔABC的三个内角A、B．C成等差