2第2讲 平面向量基本定理及坐标表示.doc

第2讲平面向量基本定理及坐标表示1．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))．(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标；②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2)．3．平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，a∥b⇔x1y2－x2y1＝0．导师提醒1．理解基底需关注三点(1)基底e1，e2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底．(2)基底给定，同一向量的分解形式唯一．(3)如果对于一组基底e1，e2，有a＝λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，则可以得到eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ1＝μ1，,λ2＝μ2.))2．应用共线向量定理应注意两点(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件不能表示成eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2)，因为x2，y2有可能等于0，应表示为x1y2－x2y1＝0.(2)判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后按两向量共线进行判定．3．牢记两个结论(1)已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则P点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2))).(2)已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2＋x3,3)，\f(y1＋y2＋y3,3))).判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．()(2)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.()(3)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示．()(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可表示成eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2).()答案：(1)×(2)√(3)√(4)×(教材习题改编)下列哪组向量可以作为平面向量的一组基底()A．e1＝(－2，4)，e2＝(1，－2)B．e1＝(4，3)，e2＝(－3，8)C．e1＝(2，3)，e2＝(－2，－3)D．e1＝(3，0)，e2＝(4，0)解析：选B.对于A，e1＝－2e2，对于C，e1＝－e2，对于D，e1＝eq\f(3,4)e2，对于B，不存在λ∈R，使e1＝λe2，故选B.已知点A(0，1)，B(3，2)，向量eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－4，－3)，则向量eq\o(BC,\s\up6(→))＝()A．(－7，－4)B．(7，4)C．(－1，4)D．(1，4)解析：选A.法一：设C(x，y)，则eq\o(AC,\s\up6(→))＝(x，y－1)＝(－4，－3)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－4，,y＝－2，))从而eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－4，－2)－(3，2)＝(－7，－4)．故选A.法二：eq\o(AB,\s\up6(→))＝(3，2)－(0，1)＝(3，1)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)．故选A.若向量a＝(2，1)，b＝(－1，2)，c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5,2)))，则c可用向量a，b表示为()A．c＝eq\f(1,2)a＋bB．c＝－eq\f(1,2)a－bC．c＝eq\f(3,2)a＋eq\f(1,2)bD．c＝eq\f(3,2)a－eq\f(1,2)b解析：选A.设c＝xa＋yb，则eq