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曲线与方程典例分析举一反三1.已知动点P到定点F(1,0)和直线x=3距离之和等于4,求点P轨迹方程.题型二利用定义或待定系数法求曲线方程【例2】已知圆:和圆:动圆M同时与圆及圆相外切.求动圆圆心M轨迹方程.解设动圆M与圆及圆分别外切于点A和点B,依据两圆外切充要条件,得,∵MA=MB,∴即这表明动点M到两定点、距离差是常数2.依据双曲线定义,动点M轨迹为双曲线左支(点M到距离大,到距离小),其中a=1,c=3,则.设点M坐标为(x,y),则其轨迹方程为(x≤1).学后反思处理本题关键是找到动点M满足条件,对于两圆相切问题,自然考虑圆心距与半径关系.当判断出动点轨迹是双曲线一支,且可求出a,b时,则直接写出其标准方程,这种求曲线方程方法称为定义法.解析:以线段AB中点为原点,AB所在直线为x轴,建立平面直角坐标系,则A(-2,0),B(2,0).设P(x,y),由已知,得PA-PB=AC-BC=<4.依据双曲线定义,动点P轨迹为双曲线右支且a=2,c=2,则所以轨迹E方程为(x>2).分析由A、B两点分别在x轴、y轴上,且,得P点坐标能够用A、B两点坐标表示出来,而|AB|=,故可求得A、B坐标满足关系式,再把P点坐标代入所求关系式即可得到P点轨迹方程.学后反思对包括较多点之间关系问题,可先设出它们各自坐标,并充分利用题设建立它们之间相关关系;再对它们进行转化和化简,最终求出所求动点坐标所满足方程.这种依据已知动点轨迹方程,求另外一点轨迹方程方法称为代入法或相关点法.解析:设,Q(x,y),则,∴,∵是圆上动点,∴∴即分析设出直线l方程,和A、B两点坐标,并将直线l方程与椭圆方程联立,求出,,由可表示出点P坐标,再用消参法求轨迹方程.于是………10′设点P坐标为(x,y),则消去参数k,得(y≠0)③……………….12′当直线l斜率不存在时,可得A、B中点坐标为原点(0,0),也满足方程③,所以点P轨迹方程为…………………………………..14’举一反三4.过抛物线顶点O引两条相互垂直直线分别与抛物线相交于A、B两点,求线段AB中点P轨迹方程.由②^2-2×①,得即故线段AB中点P轨迹方程为错解分析直线l与抛物线交于不一样两点A、B,则l斜率一定存在且受有两个交点限制,故应由此确定k取值范围,错解中忽略了k取值范围,造成错误.∴,∴又四边形OAMB为平行四边形,∴消去k,得又l与抛物线交于不一样两点A、B,∴解得且k≠0,又,∴y<-8或y>0.综上,M点轨迹方程为(y<-8或y>0).考点演练2.若直线y=kx+b交抛物线于A、B两点,已知|AB|=,线段AB中点纵坐标等于-5,求k,b值.∴或∴k=±2,b=-3或k=b=.经检验均符合要求.解析:(1)∵AB边所在直线方程为x-3y-6=0,且AD与AB垂直,∴直线AD斜率为-3.又∵点T(-1,1)在直线AD上,∴AD边所在直线方程为y-1=-3(x+1),即3x+y+2=0.(2)由x-3y-6=0,3x+y+2=0,得点A坐标为(0,-2).∵M为矩形ABCD外接圆圆心,且AM=,∴矩形ABCD外接圆方程为