高中数学：3.3.2《导数在函数极值方面的误区》素材（新人教B版选修1-1）.doc

导数在函数极值方面的误区ⅰ.将“稳定点”等同于“极值点”定义1：可导函数的方程的根称为函数的稳定点。定义2：设函数在区间有定义若且存在的某邻域有则称是函数的极大点（极小点）是函数的极大值（极小值）。极大点和极小点统称为极值点；极大值和极小值统称为极值。对于“”只是它为“函数的极值点”的必要而不充分条件。即函数的极值点必然在函数的稳定点的集合之中反之不成立即稳定点不一定是极值点。例3中的函数它在上可导由方程解得唯一稳定点从图像上看显然点不是可导函数的极值点。例6.函数的极值点是┈┈┈┈┈┈┈┈（）错解：导函数令解得故答案应选C。剖析：这三点都是稳定点那是不是极值点？存在极值点条件：导函数在稳定点的两侧有不同的符号必是函数的极值点。显然导函数在两侧有相同的符号不是函数的极值点。正解：由知当时当时；当时当时故在上是单调递增函数；在上是单调递减函数。因此只有为极小值点而和不是极值点（实际上是函数的拐点）故应选D。例7.函数当时有极值那么的值为。误解：导函数因为函数在处有极值可得解得或因此或。剖析：上述解题忽略了一个细节解题过程中只用到和这能说明它是极值点吗？当、时函数在上是增函数显然不是函数的极值点；验证当、时是函数的极值点。故。ⅱ.误把极值当最值例8.求函数在区间上的最值。误解：导函数解得或经验证和都是函数的极值点即为极大值为极小值因此函数的最大值为最小值为。剖析：本题是误把“极值”当成“最值”所导致的错误。对于上面所给出的定义可知极值是一个局部概念是函数在某一点的小领域内的最值；而最值是整体概念是在整个闭区间上的最值。在一个区间上可能有很多极大值（极小值）而且某些极大值还可能小于某些极小值但只能有一个最大值（如果存在最大值）和一个最小值（如果存在最小值）。因此求函数闭区间上的最值需要将函数的一切极值与其端点值进行比较才能确定。本题两端点值所以函数的最大值为最小值为。ⅲ.把极值点的取值范围扩大例9.函数在区间上的极大值就是最大值则的取值范围。误解：导函数令解得经验证是函数的极值点所以解得故的取值范围是。剖析：定义2即极值定义不难发现极值点在区间的内部（即不能是区间的端点）是函数的极值是与函数在的某个领域上的函数值比较而言。因此是函数的极大值点有题意得解得故的取值范围是。