高中数学 第三章 概率 2.2 建立概率模型教学案 北师大版必修3-北师大版高一必修3数学教学案.doc

2．2建立概率模型“放回”与“不放回”问题[典例]从含有两件正品a1a2和一件次品b1的3件产品中每次任取1件连续取两次．(1)若每次取出后不放回连续取两次求取出的产品中恰有一件是次品的概率；(2)若每次取出后又放回求取出的两件产品中恰有一件是次品的概率．[解](1)每次取一件取后不放回地连续取两次其一切可能的结果为(a1a2)(a1b1)(a2a1)(a2b1)(b1a1)(b1a2)其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品右边的字母表示第2次取出的产品．由6个基本事件组成而且可以认为这些基本事件的出现是等可能的．用A表示“取出的两件中恰好有一件次品”这一事件则A＝{(a1b1)(a2b1)(b1a1)(b1a2)}．事件A由4个基本事件组成．因而P(A)＝eq\f(46)＝eq\f(23).(2)有放回地连续取出两件其一切可能的结果为(a1a1)(a1a2)(a1b1)(a2a1)(a2a2)(a2b1)(b1a1)(b1a2)(b1b1)共9个基本事件．由于每一件产品被取到的机会均等因此可以认为这些基本事件的出现是等可能的．用B表示“恰有一件次品”这一事件则B＝{(a1b1)(a2b1)(b1a1)(b1a2)}．事件B由4个基本事件组成因而P(B)＝eq\f(49).抽取问题是古典概型的常见问题解决此类问题需要注意两点：一是所给问题是否需要将被抽取的个体进行区分才能满足古典概型的条件二是看抽取的方式是有放回还是不放回两种抽取方式对基本事件的总数是有影响的．另外不放回抽样看作无序或有序抽取均可有放回抽样要看作有序抽取．[活学活用]口袋中有6个除颜色外其余都相同的球其中4个白球2个红球从袋中一次任意取出2球求下列事件的概率：(1)事件A＝“取出的2球都是白球”；(2)事件B＝“取出的2球一个是白球另一个是红球”．解：设4个白球的编号分别为12342个红球的编号分别为56.从口袋中的6个球中任取2个球的所有基本事件是：(12)(13)(14)(15)(16)(23)(24)(25)(26)(34)(35)(36)(45)(46)(56)共15个基本事件．(1)从口袋中的6个球中任取2个所取的2球全是白球包含的基本事件共6个分别是(12)(13)(14)(23)(24)(34)．所以取出的2个球全是白球的概率P(A)＝eq\f(615)＝eq\f(25).(2)从口袋中的6个球中任取2个其中一个是红球而另一个是白球包含的基本事件共8个分别是(15)(16)(25)(26)(35)(36)(45)(46)．所以取出的2个球一个是白球另一个是红球的概率P(B)＝eq\f(815).建立概率模型解决问题[典例]甲、乙、丙、丁四名学生按任意次序站成一排试求下列事件的概率：(1)甲在边上；(2)甲和乙都在边上；(3)甲和乙都不在边上．[解]利用树状图来列举基本事件如图所示．由树状图可看出共有24个基本事件．(1)甲在边上有12种情形：(甲乙丙丁)(甲乙丁丙)(甲丙乙丁)(甲丙丁乙)(甲丁乙丙)(甲丁丙乙)(乙丙丁甲)(乙丁丙甲)(丙乙丁甲)(丙丁乙甲)(丁乙丙甲)(丁丙乙甲)．故甲在边上的概率为P＝eq\f(1224)＝eq\f(12).(2)甲和乙都在边上有4种情形：(甲丙丁乙)(甲丁丙乙)(乙丙丁甲)(乙丁丙甲)故甲和乙都在边上的概率为P＝eq\f(424)＝eq\f(16).(3)甲和乙都不在边上有4种情形：(丙甲乙丁)(丙乙甲丁)(丁甲乙丙)(丁乙甲丙)故甲和乙都不在边上的概率为P＝eq\f(424)＝eq\f(16).对于一些比较复杂的古典概型问题一般可以通过分类有序地把事件包含的情况分别罗列出来从而清晰地找出满足条件的情况．在列举时一定要注意合理分类才能做到不重不漏结果明了而树状图则是解决此类问题的较好方法．[活学活用]有ABCD四位贵宾应分别坐在abcd四个席位上现在这四人均未留意在四个席位上随便就座．(1)求这四人恰好都坐在自己的席位上的概率；(2)求这四人恰好都没坐在自己的席位上的概率；(3)求这四人恰有一位坐在自己的席位上的概率．解：将ABCD四位贵宾就座情况用如图所示的图形表示出来．a席位b席位c席位d席位a席位b席位c席位d席位a席位b席位c席位d席位a席位b席位c席位d席位由图可知所有的等可能基本事件共有24个．(1)设事件A为“这四人恰好都坐在自己的席位上”则事件A只包含1个基本事件所以P(A)＝eq\f(124).(2)设事件B为“这四人恰好都没坐自己的席位上”则事件B包含9个基本事件所以P(B)＝eq\f(924)＝eq\f(38).(3)