半离散ＭＫｄＶ方程的孤子解.docx

半离散ＭＫｄＶ方程的孤子解摘要：半离散MKdV方程可以通过Backlund变换Toda非线性晶格动力学方程得到，KwokW.Chow已得到其零边界的孤子解[1]。为简化繁琐的手工计算，文章采用实指数方法并借助Mathematica符号计算软件编程求解，不仅得到已有的零边界的孤子解，而且还得到新的非零边界孤子解。关键词：实指数方法；半离散MKdV方程；孤子解20世纪60年代不断地涌现一批具有非线性色散或耗散、典型的非线性演化方程[2]。非线性演化方程的研究十分丰富，也非常广泛，各种研究方法结果层出不穷，非线性科学的研究和应用越来越受到人们的广泛重视。非线性问题的研究手段有逆散射变换，Backlund变换、Dauboux变换、Hirota直接法、由Korpel提出的实指数方法，以及Kruskl开创的数值研究方法。对许多连续的非线性方程，数学上可用前面提到的方法进行精确的孤子解求解，并已经形成了较为系统的数学理论。但在处理离散实际孤子模型（如Davydov模型）时，往往将其作连续化近似，舍去高阶项后，转化为连续的非线性方程，再求其孤子解，这样得到解的性质及适用范围往往与实际问题产生差异，特别是在强非线性作用下尤为突出。我们在研究分子、原子系统等微观过程时，一般当作离散的晶格系统。离散系统一般具有连续系统没有的特殊性质，离散性显得非常重要。半离散MKdV方程可以通过Backlund变换Toda非线性晶格动力学方程得到。本文根据实数指方法[3]并借助Mathematica符号计算软件编程，求解半离散MKdV方程的孤子解。一、求半离散MKdV方程的非零边界孤子解uj=（1+u）（u-u）=±1j=0，±1，±2，…（1）其中圆点表示对时间t求导，这就是半离散MKdV方程[4]，KwokW.Chow已得到其零边界的孤子解[5]：uj=±sinh（）sech[k（j-j0）-t]（2）其中=2sinh（）。下面我们将根据实指数方法用Mathmatica符号计算软件求解其非零边界的孤子解，将展开为实指数级数形式：uj=angnjgj＜1（3）uj=ang-njgj＞1（4）其中an为展开系数，且gj=exp（j），j=-k（j-j0）+tk＞0（5）把（3）式代入（1）式再利用Cauchy的多项式级数展开定理可得：[n-2（1+a20）]sinh（）angnj（6）=4a0sinh（）aman-mgnj+2sinh（）a1an-man-mgnj通过展开（6）式，比较gnj的系数得到级数系数an关于非线性递推式：[-2（1+a2）sinh（）]a1=0（7）[2-2（1+a2）sinh（k）]a2=4a0sinh（）a2（8）[n-2（1+a2）sinh（）]ann≥3（9）=4a0sinh（）aman-m+2sinh（）a1am-1an-m=2（1+a2）sinh（）（10）下面我们分情况讨论方程（1）的孤子解：1.讨论=1通过Mathematica符号计算软件编程求解不难得到级数系数an关于a0，a1的表达式：an=·（11）为了使（3）式具有收敛性，选取a1=2sinh（）（1+a2）（12）其中，（11）式可变为an=（-1）n-1nsinh（）（1+a2）（13）把（13）式代入（3）式可得:uj=a0+（14）将式（5）式代入（14）式可得：uj=a0+（15）设a0=stanh（），s为任意常数，则（15）式可以简化为：uj=stanh（）+（16）（16）式表示的孤子解。其中k=2，=1，t=j0=0，孤子边值从小到大依取值为：s=-1.0、-0.5、0.0、3.0、5.0;对应为“正负”孤子、亮孤子和超亮孤子。s=0时，uj表示的是常规的零边界孤子解。除之以外还有各种各样的非零边界的孤子解，见图（1）。图12.讨论=-1如果我们令a=a0coth（），a1=任意常数，则可得到an的递推公式an=·（17）为了使（3）式具有收敛性，选取a1=-2sinh（）（1-a2）（18）其中=±1，式（17）可变为an=[（a+1）n-（a-1）n]（-）nsinh（）（1-a2）（19）将（19）式代入（3）式可得:uj=a0-（20）把a0=a0coth（）代入（20）式可得：uj=a0+（21）令a0=stanh（）则（21）式可以简化为uj=stanh（）-（22）（21）式表示的孤子解。其中k=2，=1，t=j0=0，孤子边值从下到上依次取值为：s=1.0、1.01、1.27、1.5、2.16、2.5、3.0；分别对应kink孤子、“正负”孤子、黑孤子、灰孤子、常数解和超亮孤子。s=0时，uj表示的是常规的零边界的孤子解。除之以外还有各种各样的非零边界的解，见图2。图2二、结束语用实数指方法求解半离散MKdV方程，如果仅仅通过手工