孤子方程的可积离散和双哈密顿结构.doc

孤子方程的可积离散和双哈密顿结构本文主要研究非线性数学物理中一些重要的孤子方程的性质及它们之间的相互关系.大致分为以下四方面内容：运用差分算子代数化将连续广义非线性薛定谔(GNLS)方程可积离散化,并研究所得离散方程的一些可积性质和线性约化；构造并验证若干多分量孤子方程的双哈密顿结构,进而推导方程的其他可积性质：发现一些重要的Camassa-Holm(CH)型方程的reciprocal变换,以此建立不同方程族之间的关系；利用符号计算平台Mathematica开发了验证孤子方程双哈密顿算子的自动推演程序包.具体的章节安排如下：第一章,介绍了与本文相关的可积离散、双哈密顿理论、reciprocal变换、符号计算的研究背景与发展现状,并且概述了本文的主要工作.第二章,利用差分算子代数化的方法将连续GNLS方程Lax对离散化、得到了半离散GNLS方程,并考虑了其可积性质如递推算子、对称和守恒律.通过循环矩阵理论研究了该广义半离散方程所有的线性约化,特别的经过其中一个约化得到了一个经典的半离散NLS方程.第三章,通过零曲率方程构造了多分量Novikov方程、多分量Yajima-Oikawa(YO)族以及一个多分量CH型方程的双哈密顿算子,并用multi-vector方法验证.由这些多分量方程的双哈密顿结构可推导以下结果：多分量Novikov方程的递推算子和无穷多个非局域对称；经典的YO方程及其无穷多守恒量；多分量CH型方程所在族的对偶族：即多分量AKNS族和多分量KN族.第四章,以CH方程、Olver-Rosenau-Qiao(ORQ)方程与KdV族负一流之间的两个reciprocal变换为桥梁,建立了CH方程和ORQ方程之间的联系.构造了一个混合CH型方程(混合CH方程与ORQ方程)与KdV族负一流之间的reciprocal变换,特别地此变换的约化可得将CH方程和ORQ方程联系到KdV族负一流的上述两个reciprocal变换.第五章,基于符号计算软件Mathematica和验证双哈密顿算子的multi-vector万法,编写了程序包MvBiHamiltonian该程序包能自动验证算子的反对称性、Jacobi恒等式和两个哈密顿算子之间的相容性等.值得注意的是,该程序包成功地验证了王总结的所有微分算子形式的双哈密顿算子.第六章,总结归纳了本文的主要工作,并阐明了接下来的研究方向.