多项式插值和三次样条插值.doc

多项式插值和三次样条插值多项式插值和三次样条插值多项式插值和三次样条插值已知某产品从1900年到2010年每隔10年的产量,用多项式插值和三次样条插值的方法，画出每隔一年的插值曲线的图形,试计算并比较在不同方法下的2005年以及2015年的产量。年份190019101920193019401950产量75。99591.972105.711123。203131。699150。697年份196019701980199020002010产量179.323203.212226.505251.525291.854325。433思想算法：多项式插值采用牛顿多项式插值法，该算法可以克服多项式插值和拉格朗日插值法的缺点，即：当用已知的n+1个数据点求出插值多项式后，又获得了新的数据点，要用它连同原有的n+1个数据点一起求出插值多项式，从原已计算出的n次插值多项式计算出新的n+1次插值多项式是很困难的，必须全部重新计算。而牛顿插值法可以克服这一缺点。三次样条插值不仅在节点增多使子区间减少时，误差随之减少，也使曲线具有足够的光滑性。Matlab程序如下程序一：牛顿插值法源程序名称Newton.mclearall;x=0:10：110；y=［75。995,91.972,105.711，123。203,131.699，150。697,179。323，203。212,226.505,251.525，291。854,325.433］；n=length（x)；symst；fork=2：nfori=n：—1：ky（i)=（y（i）-y(i-1）)/(x(i）—x（i-k+1）)；end;end；N=y(1）；fori=2:nW=1；forj=1：(i—1)W=W＊（t-x(j));end；N=N+y（i）＊W；end；N=expand(N)；ezplot（N，[0,120]）;holdon;formatshort;Q=[］；fori=0：120Q(i+1）=subs（N，t,i）;end；T=0：120；plot（T,Q,'^’）;title('产量随时间变化曲线'）;xlabel（’T/时间’）;ylabel(’Q/产量’)；N105=subs（N，t,105);N115=subs（N,t,115）;程序二：三次样条插值源程序名称SPLINEM。mclearall；x=0：10:110;y=[75。995，91.972,105.711，123.203,131.699,150。697，179。323,203。212,226。505,251。525，291。854,325。433]；n=length(x）;symst;fori=1：np（i）=y(i）；end;fork=2：3fori=n：-1:kp（i)=（p(i)—p(i—1）)/(x（i）—x(i+1-k)）;end;end;h（2）=x(2）—x（1）；fori=2：（n-1）h(i+1)=x(i+1)—x(i)；c(i）=h（i+1)/(h（i）+h(i+1)）；a(i)=1—c（i);b(i）=2;p（i)=6＊p(i+1);end；p(1）=0；p（n)=0;c（1）=0;b（1）=2；b(n）=2;a（n)=0；u（1)=b（1）；z(1)=p(1）;fork=2:nl（k）=a（k)/u（k-1）;u（k)=b(k)—l(k）＊c(k—1)；z（k)=p(k)-l(k）*z(k—1)；end；M（n）=z(n)/u（n）；fork=(n—1）:—1：1M(k)=(z(k）—c(k）＊M(k+1）)/u（k);end;fori=2：nS（i）=M(i—1）＊（x(i）—t)^3/(6＊h(i))+M（i)*（t-x(i-1)）^3/（6*h（i）)+(y（i-1）-M（i—1）*h(i）^2/6)*(x(i)-t)/h（i)+（y(i）—M(i）*h(i)^2/6)＊(t—x（i-1)）/h（i);p=0；fork=((i-2)＊10+1）：(（i-1)＊10)Q(k）=subs(S(i）,t，x（i—1)+p）;p=p+1;end;ezplot(S(i）,［x（i-1）,x(i）]）；holdon；end；ezplot(S（12），[110，120］）;holdon；fork=111：121Q（k）=subs(S（12）,t,k—1）;end;T=0：120;plot（T,Q，’^'）；axis(［0，120,0，400］）;title('产量随时间变化曲线'）;xlabel(’T/时间’)；ylabel（’Q/产量'）；S105=subs(S(12)，t，105）;S115=subs(S(12），t，115)；运行结果:程序一：程序输入N105和N115得2005年产量N105=332.2