高考数学一轮复习专题1函数与导数理新人教版.doc

专题一函数与导数热点一用导数研究函数的性质函数是高中数学的重点内容,而函数的性质又是高考命题的热点,用导数研究函数的性质比用初等方法研究要方便得多,并且具有普遍的适用性.例1(2014·安徽)若直线l与曲线C满足下列两个条件:(i)直线l在点P(x0,y0)处与曲线C相切;(ii)曲线C在点P附近位于直线l的两侧.则称直线l在点P处“切过”曲线C.下列命题正确的是.(写出所有正确命题的编号)①直线l:y=0在点P(0,0)处“切过”曲线C:y=x3;②直线l:x=-1在点P(-1,0)处“切过”曲线C:y=(x+1)2;③直线l:y=x在点P(0,0)处“切过”曲线C:y=sinx;④直线l:y=x在点P(0,0)处“切过”曲线C:y=tanx;⑤直线l:y=x-1在点P(1,0)处“切过”曲线C:y=lnx.【审题】本题考查切线与图形的关系.【求解】对于①,因为y'=3x2,y'x=0=0,所以l:y=0是曲线C:y=x3在点P(0,0)处的切线,画图可知曲线C在点P附近位于直线l的两侧,①正确;对于②,因为y'=2(x+1),y'x=-1=0,所以l:x=-1不是曲线C:y=(x+1)2在点P(-1,0)处的切线,②错误;对于③,y'=cosx,y'x=0=1,所以曲线C在点P(0,0)处的切线为l:y=x,画图可知曲线C在点P附近位于直线l的两侧,③正确;对于④,y'=,y'x=0=1,所以曲线C在点P(0,0)处的切线为l:y=x,画图可知曲线C在点P附近位于直线l的两侧,④正确;对于⑤,y'=,y'x=1=1,所以曲线C在点P(1,0)处切线为l:y=x-1,又由h(x)=x-1-lnx(x>0)可得h'(x)=1-,所以hmin(x)=h(1)=0,故x-1≥lnx,所以曲线C在点P附近位于直线l的下侧,⑤错误.【答案】①③④【易错警示】错误的主要原因是思维定势,对曲线在切线的两侧无法理解.【举一反三】本题充分体现了导数的几何意义.热点二导数、函数与不等式用导数的方法研究与函数有关的不等式问题,是巧妙地构造函数,然后这个函数的单调性、极值、最值及特殊点的函数值,结合不等式的性质来解决.例2(2014·湖南)若0<x1<x2<1,则().【审题】本题主要考查函数的构造,导数及其应用,函数的单调性.【求解】依题可构造函数f(x)=,则f'(x)=.当x∈(0,1)时,f'(x)<0,所以f(x)=在区间(0,1)上递减,故0<x1<x2<1时有f(x1)>f(x2),即x2>x1.【答案】C热点三恒成立及求参数范围问题恒成立问题可以转化为我们较为熟悉的求最值的问题进行求解,若不能分离参数,可以将参数看成函数关系式中的常量,利用函数性质求解.例3(2014·湖南)已知函数f(x)=xcosx-sinx+1(x>0).(1)求f(x)的单调区间;(2)记xi为f(x)的从小到大的第i(i∈N*)个零点,证明:对一切n∈N*,有.【审题】本题主要考查导数及其应用,函数的单调性,函数的零点,不等式的证明.(1)通过求导,结合三角函数值的确定,根据导数值的正负情况来确定对应的单调区间问题;(2)先根据函数的单调性确定在对应的区间内至少存在一个零点,进而确定对应的不等式关系式,通过不等式的放缩来证明相应的不等式成立问题.【求解】(1)f'(x)=cosx-xsinx-cosx=-xsinx.令f'(x)=0,得x=kπ(k∈N*).当x∈(2kπ,(2k+1)π)(k∈N)时,sinx>0,此时f'(x)<0.当x∈((2k+1)π,(2k+2)π)(k∈N)时,sinx<0,此时f'(x)>0.故f(x)的单调递减区间为(2kπ,(2k+1)π)(k∈N),单调递增区间为((2k+1)π,(2k+2)π)(k∈N).(2)由(1)知,f(x)在区间(0,π)上单调递减.又当n∈N*时,因为f(nπ)f((n+1)π)=[(-1)nnπ+1]·[(-1)n+1(n+1)π+1]<0,且函数f(x)的图象是连续不断的,所以f(x)在区间(nπ,(n+1)π)内至少存在一个零点.又f(x)在区间(nπ,(n+1)π)上是单调的,故nπ<xn+1<(n+1)π.因此当n=1时,;【技巧点拨】利用导数求最值解决恒成立问题时,注意f(x)>a恒成立⇔f(x)min>a恒成立的转化与应用.而对于证明不等式时得注意对不等式的放缩或数学归纳法的应用等.热点四利用导数识别函数图象给出函数关系式描绘或者识别其图象.除根据一般方法研究其性质外,求导也有独到的技巧.例4(2014·江西)在同一直角坐标系中,函数y=ax2-x+与y=a2x3-2ax2+x+a(a∈R)的图象不可能是().【审题】本题主要考查函数的图象及性质、导数的运算,考查综合应用知识解