几类微分方程解的存在性与多解性.doc

几类微分方程解的存在性与多解性微分方程解的存在性与多解性是非线性分析的一个重要研究内容,有着广泛的背景,它来源于物理、生物工程、化学和医学等领域.近年来,许多学者对非线性微分方程,尤其是非线性偏微分方程进行了研究，例如利用变分法和临界点理论研究了二阶和四阶椭圆方程、Schrodinger方程、Schrodinger-Poisson系统、Kirchhoff型方程、拟线性Schrodinger方程等各类方程解的存在性与多解性.这些研究都进一步促进了非线性分析的发展.本文主要利用变分法、临界点理论、Morse理论、拓扑度理论等方法研究Schrodinger-Poisson系统、Kirchhoff型方程、二阶Sturm-Liouville边值问题这三类微分方程解的存在性与多解性.本文分为四章.在第一章中,我们介绍一些研究背景,国内外研究现状及本文的一些主要结果.在第二章的第一节中,我们对以下带有参数的一般的Schrodinger-Poisson系统进行了研究其中q≥0是参数,η=士l,f是次临界的满足(f)/f∈C(R+)R+),存在c>0,使得|f(t)|≤c(|t|+|t|α),t∈R+[0,∞),其中α∈(2,4).非线性项9是次临界的,在零点和无穷远点是超线性的满足以下条件(g1)g∈C(R+,R+),存在c1>0,使得|g(t)|≤c1(1+|t|p-1),t∈R+=[0,∞),其中p∈(2,6)；(g2)limt→0+g(t)/t=0;(g3)limt→∞g(t)/t=∞通过用变分法讨论以上问题正径向解的存在性.首先f是一般的次临界的满足(f).当f(t)=t时,许多文献都进行了讨论.在假设(f)下,由Lax-Milgram定理,对每个u∈H1(R3),系统的第二个方程存在唯一的解φu∈D1,2(R3).将φu代入第一个方程中,则问题转化为只含有一个变量的方程,进而得到问题的变分结构,使得问题转化为只含有一个变量的泛函的临界点存在性问题.系统的非线性项g满足比较一般的条件(g1)-(g3),在零点和无穷远点都是超线性的不满足以下全局Ambrosetti-Rabinowitz增长条件(AR)存在μ>4,使得对所有的当η=1时,相应泛函的山路结构不是很明显,我们将利用截断函数的技巧和文献[30]中的方法,得到了当q≥0比较小时系统的正径向解的存在性.这部分内容已发表,见[41](J.Math.Anal.Appl.401(2013)：754-762).当η=-1时,虽然可以得到相应泛函的山路结构,但是用通常的方法得不到(PS)序列的有界性,我们仍将[30]中的方法和Pohozaev恒等式结合起来,得到了对任意的q≥0系统都存在一个正径向解.这一部分的主要结果如下.定理2.1.1.设f满足条件(f),9满足(g1),(g2)和(g3).则当η=1时,存在q0>0,使得对任意的q∈[0,q0),系统(2-1-1)至少存在一个正的径向解(u,φ)∈H1(R3)×D1,2(R3),而当η=-1时,对任意的q≥0,系统(2-1-1)至少存在一个正的径向解(u,Φ)∈H1(R3)×D1,2(R3).在第二章的第二节中,我们讨论了以下非齐次的一般Schrodinger-Poisson系统多个正径向解的存在性其中q≥0是参数,f是次临界的满足以上条件(f),g是次临界,在零点是超线性的满足(g1),(g2),并且9在无穷远点是渐近线性或超线性的满足(g3’)limt→∞g(t)/t=l,其中1<l≤∞.h满足以下条件(h1)h∈C1(R3)L2(R3)是一个非负径向函数；(h2)|h|2≤m,其中其中|·|。表示通常的Ls(R3)范数,%表示H1(R3)→L3(R3),s∈[2,6]的嵌入系数,C是一个依赖于g的常数；(h3)(▽h(x),x)∈L2(R3),(▽h(x),x)≥0,其中(·,·)表示R3中通常的内积.通过应用变分法得到了系统至少两个正径向解的存在性.首先,在(h1)和(h2)的假设下,可以得到对任意的q≥0,相应泛函在零点附近存在一个负的局部极小值,通过应用Ekeland变分原理得到这个极小值可以达到,因而得到问题对任意q≥0一个具有负能量的解的存在性.其次,由于非线性项9在无穷远点是渐近线性或超线性的不满足全局(AR)条件,相应泛函的山路几何结构也不是很明显.通过引入一个检验函数并结合截断函数的技巧,我们可以得到问题满足山路结构,但是用通常的方法得不到(PS)序列的有界性.我们将文献[30]中的方法和Pohozaev等式结合起来得到了系统当q>0比较小时,(PS)序列的有界性,进而得到了系统第二个具有正能量的解的存在性.这部分的主要结果如下.定理2.2.1若f满足条件(f),9满足(g1)