凸度量空间中的不动点定理.doc

凸度量空间中的不动点定理不动点问题一直是泛函分析中研究的主要方向之一,并且在代数方程、微分方程、积分方程等有着广泛的应用.本文主要针对凸度量空间,通过构造不同的条件,得出一些不动点方面的定理.第一章,介绍了凸度量空间的概念,以及凸度量空间中一些已有的不动点定理.第二章,给出了公共不动点的定义,并且得到了凸度量空间中单值映射在不同条件下的公共不动点定理,其主要内容如下：第一部分,(X,d)为具有I性质的凸度量空间,c为X的紧子集.映射T,G：C→X是可交换映射而且满足T是G非扩张的以及G2=G.如果G是连续的、仿射的,子集C是G星形的,那么T和G在C中有唯一的公共不动点.第二部分,(X,d)是具有凸结构W的凸度量空间.K是X的一个非空闭子集,映射f,g是K上可相容的映射而且对于所有的x,y∈K,有d(fx,fy)≤ad(gx,gy)+bmax{d(gx,fx),d(gy,fy)}+cmax{d(gx,fx)+d(gy,fy),d(gx,gy)+d(gy,fx)},其中a,b,c≥0而且a+b+2c=1,b(1-b)/(2+b)>c.如果f(K)∈g(K),g既是W仿射又是连续的,那么存在一个唯一的f和g的公共不动点z,而且f在z这一点连续.第三章,介绍了凸度量空间中的多值映射的概念,得到了多值映射在凸度量空间中的共同点定理,即：(X,d)是凸度量空间且K为X的闭子集.令T,S：K→CB(X)是一对多值映射,f,g：K→X是一对单值映射,对于任意x,y∈X满足：H(Sx,Ty)≤ad(fx,gy)+βmax{D(fx,Sx),D(gy,Ty)}+γmax{D(fx,Sx)+D(gy,Ty),D(fx,Ty)+D(gy,Sx)}其中α,β,γ≥0且满足：λ=α+2β+3γ+αγ<1.(ⅰ)(?)K∈fk∩gK；(ⅱ)Sk∩K∈gK,TK∩K∈fK；(ⅲ)fx∈(?)K推出Sx∈K,gx∈(?)K推出Tx∈K.f(K)和g(K)是完备的,那么在K中存在u和w使得：fu∈Su,gw∈Tw,fu=gw和Su=Tw.第四章,介绍了(E.A)性质,得到了具有(E.A)性质映射的公共不动点定理：(X,d)是凸度量空间,K为X的一个非空闭子集.映射f和g是K上的自映射,满足不等式.：d(fx,fy)≤ab(gx,gy)+bmax{d(gx,gy),d(gy,fy)}+cmax{d(gx,fx)+d(gy,fy),d(gx,gy)+d(gy,fx)}其中a,b,c为非负实数,且满足a+b+2c=1.若g是W仿射的,fK∈gK且gK(或fK)是X的完备子集,那么(ⅰ)f和g存在一个共同点v;(ⅱ)若f,g是弱相容的,那么fv=u是f和g的公共不动点；(ⅲ)若映射g在u点连续,那么f在u点连续.