04-高等代数期末复习.doc

第六章线性空间一线性空间的判定线性空间中两种运算的８条运算规律缺一不可，要证明一个集合是线性空间必须逐条验证．若要证明某个集合对于所定义的两种运算不构成线性空间，只需说明在两个封闭性和８条运算规律中有一条不满足即可。例：检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间：次数等于n（n1）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法；全体n阶反对称矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法；解：1）否。因两个n次多项式相加不一定是n次多项式，例如。n阶矩阵的加法和和数量乘法满足线性空间定义的1~8条性质，即全体n阶矩阵对矩阵的加法和和数量乘法是构成线性空间的。“全体n阶反对称矩阵”是“n阶矩阵”的子集，故只需验证反对称矩阵对加法与数量乘法是否封闭即可。当A，B为反对称矩阵，k为任意一实数时，有，即A+B仍是反对称矩阵。，所以kA是反对称矩阵。故反对称矩阵的全体构成线性空间。例：齐次线性方程组A=0的全体解向量的集合，对于向量的加法和数乘向量构成一个线性空间，通常称为解空间。而非齐次线性方程组A=b的全体解向量的集合，在上述运算下则不是线性空间，因为它们的两个解向量的和已经不是它的解向量。二、基维数坐标定义:在线性空间V中，如果存在个线性无关的向量使得：V中任一向量都可由线性表示，那么，就称为线性空间V的一个基，称为线性空间V的维数。记作dimV=。维数为的线性空间称为维线性空间。定义（向量的坐标）：设是线性空间的一个基。对于任一元素，总有且仅有一组有序数使则这组有序数就称为元素在基底下的坐标，并记作例：在线性空间中，就是的一个基。的维数为4.任一2阶矩阵因此A在这个基下的坐标为。若另取一个基。则因此A在这个基下的坐标为。例：考虑全体n阶对称矩阵构成的线性空间的基底和维数。解：n阶矩阵的加法和和数量乘法满足线性空间定义的1~8条性质，即全体n阶矩阵对矩阵的加法和和数量乘法是构成线性空间的。“全体n阶对称矩阵”是“n阶矩阵”的子集，故只需验证对称矩阵对加法与数量乘法是否封闭即可。从而全体n阶对称矩阵构成的线性空间。即为它的一组基。共个，维数是例：设。在中，求向量在基下的坐标。设有线性关系，则，可得在基下的坐标为。例：在中，由齐次方程组确定的解空间的基与维数。解：对系数矩阵作行初等变换，有所以解空间的维数是2，它的一组基为，。例：设与分别是齐次方程组的解空间，证明：证：由于的解空间是n－1维的，其基为而由知其解空间是1维的，令则其基为且即为的一组基，从而又，（也可由交为零向量知）故三、基变换与坐标变换基变换：设及是线性空间中的两个基，若或简记为=（）=（）A（☆）则矩阵A称为由基到基的过渡矩阵。（☆）式称为基变换公式.坐标变换：设中的元素，在基下的坐标为，在基下的坐标为。若两个基满足关系式（6-2），则有坐标变换公式A，或=第七章线性变换一、线性变换的定义线性空间到自身的映射称为的一个变换.定义：线性空间的一个变换A称为线性变换，如果对于中任意的元素和数域中任意数，都有A()=A()+A();A()=A().一般用花体拉丁字母A，B，…表示的线性变换，A()或A代表元素在变换A下的像.例?判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：1）?在线性空间V中，A,其中V是一固定的向量；2）?在线性空间V中，A其中V是一固定的向量；3）?在P中，A；4）?在P中，A；解：1)当时,是;当时,不是。2)当时,是;当时,不是。3)不是.例如当,时,A,A,AA(。4)是.因取,有A=A===A+A，AA=A，故A是上的线性变换。二、线性变换关于基的矩阵定义：设是数域上维线性空间的一组基，A是中的一个线性变换.基向量的像可以被基线性表出：用矩阵表示就是A（）=（A()，A()，…，A()）=其中矩阵称为线性变换A在基下的矩阵.定理：设线性变换A在基下的矩阵是，向量在基下的坐标是,则A在基下的坐标可以按公式计算.例：在空间中，线性变换D在基下的矩阵是三、同一个线性变换在不同基下的矩阵的关系.线性变换的矩阵是与空间中一组基联系在一起的.一般说来，随着基的改变，同一个线性变换就有不同的矩阵.为了利用矩阵来研究线性变换，有必要弄清楚线性变换的矩阵是如何随着基的改变而改变的.定理：设线性空间中线性变换A在两组（6）(7)下的矩阵分别为和，从基（6）到（7）的过渡矩阵是，于是.定理告诉我们，同一个线性变换A在不同基下的矩阵之间的关系为相似.定义：设，为数域上两个级方阵，如果可以找到数域上的级可逆方阵，使得，就说相似于，记作.相似是矩阵之间的一种关系，这种关系具有下面三个性质：1.反身性：2.对称性：如果，那么.3.传递性：如果,,那么.线性变换在不同基下所对应的矩阵是相似的；反过来，如果两个矩阵相似，那么它们可以看作同一个线性变换在两组基下所对应的矩阵.矩阵的