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(完整word)量子力学34(完整word)量子力学34(完整word)量子力学34第七章习题课1．证明:.解:利用泡利矩阵的性质,得设的本征方程为则又所以2．对于自旋为1/2的粒子体系，定义自旋交换算符.证明：。解：利用例1结果，有3．对上题中的，证明：,。解：利用泡利算符性质，得或利用矩阵表示证明同理4．在的本征态下，求和。解：或同理,。5．在表象中，写出的矩阵形式，并证明：，。解：在表象中，有所以也可以采用下面办法6．设体系由两个自旋为的粒子构成，其哈密顿算符为。求能量本征值，其中、为实常数.解：哈密顿算符变形为因为,所以。当时，，有当时，，有7．两个自旋为的非全同粒子构成一个复合体系.设两个粒子之间无相互作用。若一个粒子处于状态，另一个粒子处于状态，求体系处于单态的概率。解:在表象中，两粒子的状态分别为体系的状态体系总的自旋量子数.处于单态时，,对应的波函数为体系处于单态的概率为或者，采用下面办法因为所以因此处于单态概率8．设体系由两个自旋为的粒子构成，若体系处于两个粒子的自旋状态分别为、的状态中,分别求出体系处于单态和三重态的概率。其中解:体系处于单态和三重态的概率分别为9．两个自旋为1/2的粒子的角动量分别为、，它们之间相互作用算符为（为常数），总角动量.证明、、可同时测量，并求的矩阵元。解:（1）证明、、可同时测量，即证它们互相对易。因为,所以因为所以因此，、、互相对易，可同时测量。(2）的矩阵元因为，所以。当时,,有；当时，,有.10．已知氢原子处在态中,求、、的可能取值和平均值。解：状态为显然已归一化。主量子数，能量可能取值及相应概率为能量平均值轨道角量子数，的可能取值及概率为的平均值为角动量由题意得当时，,，所以；当时,，，所以。的可能取值及概率，；，;,平均值11．自旋为的粒子处于阱宽为的无限深方势阱中，若状态为求能量的可能测量值及相应的取值概率.其中为该无限深势阱的第个本征态.解：一维无限深方势阱中粒子能量的本征解为（）因为归一化所以能量取值及概率能量平均值