直线与平面垂直的判定.doc

(完整word)直线与平面垂直的判定(完整word)直线与平面垂直的判定PAGE\*MERGEFORMAT16(完整word)直线与平面垂直的判定直线与平面垂直的判定［学习目标］1.掌握直线与平面垂直的定义。2.掌握直线与平面垂直的判定定理.3.理解直线与平面所成的角的概念，并能解决简单的线面角问题。知识点一直线与平面垂直定义如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直记法l⊥α有关概念直线l叫做平面α的垂线,平面α叫做直线l的垂面。它们惟一的公共点P叫做垂足图示画法画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直思考直线与平面垂直定义中的关键词“任意一条直线”是否可以换成“所有直线”“无数条直线”？答定义中的“任意一条直线”与“所有直线”是等效的,但是不可说成“无数条直线”，因为一条直线与某平面内无数条平行直线垂直,该直线与这个平面不一定垂直。知识点二直线与平面垂直的判定定理文字语言一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直符号语言l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α图形语言思考线面垂直判定定理中，平面内两条相交直线和已知直线l必须有公共点吗?答用线面垂直判定定理判定直线与平面垂直,取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点,则是无关紧要的.知识点三直线和平面所成的角有关概念对应图形斜线与平面α相交,但不和平面α垂直，图中直线PA斜足斜线和平面的交点，图中点A射影过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线,过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影，图中斜线PA在平面α上的射影为AO直线与平面所成的角定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角;一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0°的角取值范围[0°，90°］思考若直线l与平面α所成的角是0°角，则必然有l∥α吗？答不一定.若直线l与平面α所成的角是0°角,则l∥α或l⊂α。题型一直线和平面垂直的定义例1直线l与平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α的关系是（)A。l和平面α平行B。l和平面α垂直C.l在平面α内D.不能确定答案D解析如图所示,直线l和平面α平行，或直线l和平面α垂直或直线l在平面α内都有可能.故正确答案为D。跟踪训练1设l，m是两条不同的直线,α是一个平面,则下列命题正确的是(）A.若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB。若l⊥α,l∥m，则m⊥αC。若l∥α,m⊂α，则l∥mD.若l∥α，m∥α，则l∥m题型二线面垂直的判定例2如图所示，已知PA垂直于⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任意一点,过点A作AE⊥PC于点E.求证：AE⊥平面PBC.证明∵PA⊥平面ABC,∴PA⊥BC.又∵AB是⊙O的直径，∴BC⊥AC。而PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.又∵AE⊂平面PAC，∴BC⊥AE.∵PC⊥AE，且PC∩BC＝C,∴AE⊥平面PBC。跟踪训练2如图,在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E,F分别是棱AB，BC的中点,O是底面ABCD的中心,求证：EF⊥平面BB1O.证明∵ABCD为正方形，∴AC⊥BO。又∵BB1⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,∴AC⊥BB1，又∵BO∩BB1＝B，∴AC⊥平面BB1O，又EF是△ABC的中位线，∴EF∥AC,∴EF⊥平面BB1O.题型三直线与平面所成的角例3如图所示，已知正四面体ABCD的棱长a，E为AD的中点,连接CE。（1)求AD与平面BCD所成角的余弦值；（2）求CE与平面BCD所成角的正弦值。解（1）如图所示，过点A作AO⊥底面BCD，垂足为点O，连接OB,OC，OD。则OB，OC，OD分别是AB，AC,AD在平面BCD上的射影。∴∠ADO为直线AD与平面BCD所成的角。又∵AB＝AC＝AD,∴OB＝OC＝OD.∴O为△BCD的外心.∵△BCD为正三角形，∴点O为重心。又正四面体棱长为a，∴OD＝eq\f(\r（3）,2）a×eq\f(2,3）＝eq\f（\r(3），3)a。∴cos∠ADO＝eq\f(OD，AD)＝eq\f(\r（3），3），∴AD与平面BCD所成角的余弦值为eq\f（\r(3），3）.(2)取OD的中点F，连接EF，CF.∵E,F分别为△DAO的边AD,OD的中点，∴EF为△DAO的中位线。∴EF∥AO.又AO⊥平面BCD，∴EF⊥平面BCD。∴FC为EC在平面BCD上的射影。∴∠ECF为CE与平面BCD所成的角.在Rt△EFC中，EF＝eq\f(1，2）AO。而AO＝eq\r(AD2－OD2）＝eq\r（a2－\b\lc\（\rc\）（\