正弦函数和余弦函数图像与性质.doc

6.1正弦函数和余弦函数的图像与性质一、复习引入1、复习（1）函数的概念在某个变化过程中有两个变量、，若对于在某个实数集合内的每一个确定的值，按照某个对应法则，都有唯一确定的实数值与它对应，则就是的函数，记作，。（2）三角函数线设任意角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点，过作轴的垂线，垂足为；过点作单位圆的切线，设它与角的终边（当在第一、四象限角时）或其反向延长线（当为第二、三象限角时）相交于.规定：当与轴同向时为正值，当与轴反向时为负值；当与轴同向时为正值，当与轴反向时为负值；当与轴同向时为正值，当与轴反向时为负值；根据上面规定，则,由正弦、余弦、正切三角比的定义有：；；；这几条与单位圆有关的有向线段叫做角的正弦线、余弦线、正切线。二、讲授新课【问题驱动1】——结合我们刚学过的三角比，就以正弦(或余弦)为例，对于每一个给定的角和它的正弦值(或余弦值)之间是否也存在一种函数关系？若存在，请对这种函数关系下一个定义；若不存在，请说明理由．1、正弦函数、余弦函数的定义（1）正弦函数：；（2）余弦函数：【问题驱动2】——如何作出正弦函数、余弦函数的函数图象？2、正弦函数的图像（1）的图像【方案1】——几何描点法步骤1：等分、作正弦线——将单位圆等分，作三角函数线（正弦线）得三角函数值；步骤2：描点——平移定点，即描点；步骤3：连线——用光滑的曲线顺次连结各个点小结：几何描点法作图精确，但过程比较繁。【方案2】——五点法步骤1：列表——列出对图象形状起关键作用的五点坐标；步骤2：描点——定出五个关键点；步骤3：连线——用光滑的曲线顺次连结五个点小结：的五个关键点是、、、、。（2）的图像由，所以函数在区间上的图像与在区间上的图像形状一样,只是位置不同.于是我们只要将函数的图像向左、右平行移动(每次平行移动个单位长度)，就可以得到正弦函数的图像。3、余弦函数的图像（1）的图像（2）的图像图像平移法由，可知只须将的图像向左平移即可。三、例题举隅例、作出函数的大致图像；【设计意图】——考察利用“五点法”作正弦函数、余弦函数图像【解】①列表②描点在直角坐标系中，描出五个关键点：、、、、③连线练习、作出函数的大致图像二、性质1．定义域：正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R［或(－∞，＋∞)］，分别记作：y＝sinx，x∈Ry＝cosx，x∈R2．值域因为正弦线、余弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度，所以｜sinx｜≤1，｜cosx｜≤1，即－1≤sinx≤1，－1≤cosx≤1也就是说，正弦函数、余弦函数的值域都是［－1，1］其中正弦函数y=sinx，x∈R①当且仅当x＝＋2kπ，k∈Z时，取得最大值1②当且仅当x＝－＋2kπ，k∈Z时，取得最小值－1而余弦函数y＝cosx，x∈R①当且仅当x＝2kπ，k∈Z时，取得最大值1②当且仅当x＝(2k＋1)π，k∈Z时，取得最小值－13．周期性由sin(x＋2kπ)＝sinx，cos(x＋2kπ)＝cosx(k∈Z)知：正弦函数值、余弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的。一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。由此可知，2π，4π，……，－2π，－4π，……2kπ(k∈Z且k≠0)都是这两个函数的周期对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期。4．奇偶性由sin(－x)＝－sinx，cos(－x)＝cosx可知：y＝sinx为奇函数，y＝cosx为偶函数∴正弦曲线关于原点O对称,余弦曲线关于y轴对称5．单调性结合上述周期性可知：正弦函数在每一个闭区间［－＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间［＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1。余弦函数在每一个闭区间［(2k－1)π，2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间［2kπ，(2k＋1)π］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1y=sinxy=cosx图象定义域RR值域[-1,1][-1,1]最值当且仅当x＝＋2kπ，k∈Z时，取得最大值1当且仅当x＝－＋2kπ，k∈Z时，取得最小值－1当且仅当x＝2kπ，k∈Z时，取得最大值1当且仅当x＝(2k＋1)π，k∈Z时，取得最小值－1周期性2p2p奇偶性奇函数偶函数单调性在闭区间［－＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上单调递增，；在闭区间［＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上单调递减在闭区间［(2k－1)π，2kπ］(k∈Z)上单调递增；在每一个闭区间［2kπ，(2k＋1)π］(k∈Z)上单调递减典型例