理论力学点的运动.ppt

运动学运动学自然法（1）、定义：以动点的运动轨迹作为一条曲线形式的坐标轴来确定动点位置的方法称为自然法。当点M沿已知轨迹运动时，弧坐标s随时间而变，并可表示为时间t的单值连续函数，即这一组方程称为点M的直角坐标形式的运动方程。矢径r唯一的决定了点M的位置。当点M运动时，矢径r是随时间而变的矢量，一般可表示为时间t的单值连续函数矢量法例1-1椭圆规的曲柄OA可绕定轴O转动，端点A以铰链连接于规尺BC；规尺上的点B和C可分别沿互相垂直的滑槽运动。求规尺上任一点M的轨迹方程。运动演示A轨迹演示M点的轨迹是什么曲线？轨迹演示x运动演示考虑滑块B在任意位置，由几何关系得滑块B的坐标略去λ4以及更高阶项，并利用关系位移§1-2用矢量法表示点的速度和加速度由矢导数定义知，动点之速度v的方向沿动点的矢端图（即轨迹曲线）的切线方向，并与此点的运动方向一致。设从某一固定点O画出动点在连续瞬间t0，t,t+△t、t2….速度矢直角坐标法表示点的速度由于沿固定轴的单位矢i、j、k不随时间而变,它们对时间的导数都等于零,故得即,点的速度在固定直角坐标系各轴上的投影,分别等于动点的对应坐标对时间的一阶导数。已知动点速度的投影，可求出速度矢量v的大小和方向余弦。把速度v的表达式对时间t求导数，可得加速度的矢量表达式其中ax，ay，az是加速度a在固定轴x，y，z上的投影。比较上列两式，得已知动点加速度的投影，可求出加速度a的大小和方向余弦例1-3半径是r的车轮沿固定水平轨道滚动而不滑动（如图）。轮缘上一点M，在初瞬时与轨道上的O点叠合；在瞬时t半径MC与轨道的垂线HC组成交角φ=ωt，其中ω是常量。试求在车轮滚一转的过程中该M点的运动方程，瞬时速度和加速度。O这方程说明M点的轨迹是滚轮线（即摆线）。车轮滚一圈的时间T=2π/ω，在此过程中，M点的轨迹只占滚轮线的一环OEP，其两端O和P是尖点。求坐标x，y对时间的一阶导数，得求vx，vy对时间的一阶导数，得轨迹演示点的速度在自然轴上的投影●比值可用来表示弧MM′的平均弯曲程度，并称为平均曲率。●曲线在点M的曲率的倒数，称为曲线在点M的曲率半径，用ρ表示，有●密切面在图中点M′趋近于M，即趋近于零的过程中，包括直线MT和MT1的平面，将绕MT转动而趋近于某一极限位置；在这极限位置的平面称为曲线在点M的密切面或曲率平面。通过点M而与切线垂直的平面，称为曲线在点M的法面。在点M处曲线的切线、主法线和副法线组成一个空间坐标架，称为点M的自然轴系；可见自然轴系是随点M的位置而改变的直角空间坐标架，它在研究点沿已知轨迹的运动时有重要的意义。即：动点的速度在切线上的投影，等于它的弧坐标对时间的一阶导数。又沿轨迹切线，所以它在法线上的投影恒等于零。根据加速度的定义以及弧坐标中速度的表达式?大小§1-4自然法表示点的速度和加速度●加速度在自然轴系上的投影形式切向加速度动点的加速度在切线上的投影，等于速度在切线上的投影对时间的导数；加速度在主法线上的投影，等于速度的平方除以轨迹在动点处的曲率半径；加速度在副法线上的投影恒等于零。加速度a与主法线所成的角度θ（恒取绝对值），由下式确定例1-4飞机在铅直面内从位置M0处以s=250t+5t2的规律沿半径r=1500m的圆弧作机动飞行（如图）。其中s以m计，t以s计。当t=5s时，试求飞机在轨迹上的位置M及其速度和加速度。OO当时,，。又,。可见,这时B点的加速度大小例1-5试求例4中轮缘上M点的切向加速度和法向加速度，并求轨迹的最大曲率半径。解：矢量at和an的方向分别沿MD和MH。另一方面，，故轨迹的曲率半径为谢谢使用