素材-全国-2012_高中物理 数学知识与物理极值问题的整合教学参考素材.rar

-7-用心爱心专心数学知识与物理极值问题的整合摘要：通过对物理极值问题的探索和求解,总结出中学物理极值问题的基本规律,并归纳出解决物理极值的基本方法:建立与物理问题对应的数学模型,化物理极值问题为数学极值问题,从而用中学数学中各种求极值的方法求出物理极值.关键词：物理极值问题，整合，数理结合，数学模型物理极值问题，就是求某物理量在某过程中的极大值或极小值。物理极值问题是中学物理教学的一个重要内容，在高中物理的力学、热学、电学等部分均出现，涉及的知识面广，综合性强，加之学生数理结合能力差，物理极值问题已成为中学生学习物理的难点。随着高考改革的深入及素质教育的全面推开，各学科之间的渗透不断加强，作为对理解能力和演绎推理能力及运算能力都有很高要求的物理学科，如果能与数学知识灵活整合，将会拓展解决物理极值问题的思路，提高运用数学知识解决物理问题的能力。在中学物理中，描述某一过程或者某一状态的物理量，在其发展变化中，由于受到物理规律和条件的制约，其取值往往只能在一定的范围内才符合物理问题的实际，求这些量的值的问题便可能涉及到要求物理量的极值。求解物理极值问题，通常涉及到的数学知识有：点到直线的距离最短,两数的几何平均值小于或等于它们的算术平均值,二次函数求极值的方法,求导数、因式分解,三角函数,几何作图法,有关圆的知识等等。在求解物理极值过程中要想能与数学知识进行灵活的整合，充分发挥数学的作用，往往要进行数学建模。数学建模就是用数学语言描述实际现象的过程。在科学领域中，数学因为其众所周知的准确而成为研究者们最广泛用于交流的语言。因此，人们常对实际事物建立种种数学模型以期通过对该模型的考察来描述，解释，预计或分析出与实际事物相关的规律。利用数学解决实际问题的方框图如下：实际问题建立数学模型数学模型的解实际问题的解分析、联想、抽象概括推理演算还原说明物理极值与中学数学知识整合事例运用二次函数求极值利用二次函数极值公式求极值对于典型的一元二次函数,若,则当时,y有极小值，为；若,则当时,y有极大值，为；例1、一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以3m/s2的加速度开始行驶。恰在这时一辆自行车以6m/s的速度匀速驶来，从后边赶过汽车。汽车从路口开动后，在追上自行车之前过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？解：经过时间t后，自行车做匀速运动，其位移为，汽车做匀加速运动，其位移为：两车相距为：这是一个关于t的二次函数，因二次项系数为负值，故ΔS有最大值。当2、利用一元二次方程判别式求极值对于二次函数，可变形为一元二次方程用判别式法即：则由不等式可知y的极值为：对于例题1，我们可以转化为二次方程求解。将可转化为一元二次方程：要使方程有解，必使判别式解不等式得：，即最大值为6m3利用配方法求极值对于二次函数，函数解析式经配方可变为若a>0时，当时，y有极小值为若a<0时，当时，y有极大值为对于例题1还可用配方法求解。（二）利用不等式求极值1、如果a，b为正数，那么有：，当且仅当a=b时，上式取“=”号。推论：①两个正数的积一定时，两数相等时，其和最小。②两个正数的和一定时，两数相等时，其积最大。2、如果a，b，c为正数，则有，当且仅当a=b=c时，上式取“=”号。推论：①三个正数的积一定时，三数相等时，其和最小。②三个正数的和一定时，三数相等时，其积最大。例2、一轻绳一端固定在O点，另一端拴一小球，拉起小球使轻绳水平，然后无初速度的释放，如图所示，小球在运动至轻绳达到竖直位置的过程中，小球所受重力的瞬时功率在何处取得最大值？解：当小球运动到绳与竖直方向成θ角的C时，重力的功率为：θvmgABCOLTθαP=mgυcosα=mgυsinθ…………①小球从水平位置到图中C位置时，机械能守恒有：……………②解①②可得：令y=cosθsinθ根据基本不等式，定和求积知：当且仅当，y有最大值结论：当时，y及功率P有最大值。(三)利用三角函数求极值1、利用三角函数的有界性求极值如果所求物理量表达式中含有三角函数，可利用三角函数的有界性求极值。若所求物理量表达式可化为“”的形式，可变为，当时，有极值。例3、如图所示,底边恒定为b,当斜面与底边所成夹角θ为多大时,物体沿此光滑斜面由静止从顶端滑到底端所用时间才最短?此题的关键是找出物体从斜面顶端滑至底端所用时间与夹角的关系式,这是一道运动学和动力学的综合题,应根据运动学和动力学的有关知识列出物理方程。解：设斜面倾角为θ时，斜面长为S，bθθmgN物体受力如图所示，由图知…………①由匀变速运动规律得：…………②由牛顿第二定律提：mgsinθ=ma…………③联立①②③式解得：可见，在90°≥θ≥0°内，当2θ=90°时，sin2θ有最大值，t有最小值。即θ=45°时，有最短时间为：2、利用“化一”法求三角函数极值。