幂法-反幂法求解矩阵最大最小特征值及其对应的特征向量.doc

数值计算解矩阵的按模最大最小特征值及对应的特征向量一.幂法1.幂法简介：当矩阵A满足一定条件时，在工程中可用幂法计算其主特征值(按模最大)及其特征向量。矩阵A需要满足的条件为：存在n个线性无关的特征向量，设为1.1计算过程：不全为0，则有可见，当越小时，收敛越快；且当k充分大时，有，对应的特征向量即是。2算法实现3matlab程序代码function[t,y]=lpowerA,x0,eps,N)%t为所求特征值，y是对应特征向量k=1;z=0;%z相当于y=x0./max(abs(x0));%规范化初始向量x=A*y;%迭代格式b=max(x);%b相当于ifabs(z-b)<eps%判断第一次迭代后是否满足要求t=max(x);return;endwhileabs(z-b)>eps&&k<Nk=k+1;z=b;y=x./max(abs(x));x=A*y;b=max(x);end[m,index]=max(abs(x));%这两步保证取出来的按模最大特征值t=x(index);%是原值，而非其绝对值。end4举例验证选取一个矩阵A，代入程序，得到结果，并与eig(A)的得到结果比较，再计算A*y-t*y，验证y是否是对应的特征向量。结果如下：结果正确，表明算法和代码正确，然后利用此程序计算15阶Hilb矩阵，与eig(A)的得到结果比较，再计算A*y-t*y，验证y是否是对应的特征向量。设置初始向量为x0=ones(15,1)，结果显示如下可见，结果正确。得到了15阶Hilb矩阵的按模最大特征值和对应的特征向量。二.反幂法1.反幂法简介及其理论在工程计算中，可以利用反幂法计算矩阵按模最小特征值及其对应特征向量。其基本理论如下，与幂法基本相同：，可知，A和A-1的特征值互为倒数，求A按模最小特征值即求A-1的按模最大特征值,取倒数即为A的按模最小特征值所以算法基本相同，区别就是在计算算法实现3matlab程序代码function[s,y]=invpower(A,x0,eps,n)%s为按模最小特征值，y是对应特征向量k=1;r=0;%r相当于y=x0./max(abs(x0));%规范化初始向量[L,U]=lu(A);z=L\y;x=U\z;u=max(x);s=1/u;%按模最小为A-1按模最大的倒数.ifabs(u-r)<eps%判断第一次迭代后是否满足终止条件returnendwhileabs(u-r)>eps&&k<n%终止条件.k=k+1;r=u;y=x./max(abs(x));z=L\y;x=U\z;u=max(x);end[m,index]=max(abs(x));%这两步保证取出来的按模最大特征值s=1/x(index);%是原值，而非其绝对值。end4举例验证同幂法一样，选取一个矩阵A，代入程序，得到结果，并与eig(A)的得到结果比较，再计算A*y-t*y，验证y是否是对应的特征向量。可见结果正确，然后利用此程序计算15阶Hilb矩阵，eig(A)的得到结果比较，再计算A*y-s*y，验证y是否是对应的特征向量。设置初始向量为x0=ones(15,1)，结果显示如下可见，结果真确。得到了15阶Hilb矩阵的按模最大特征值和对应的特征向量。计算条件数矩阵A的条件数等于A的范数与A的逆的范数的乘积，即cond(A)=‖A‖·‖A^(-1)‖，对应矩阵的3种范数，可以定义3种条件数。函数cond(A,1)、cond(A)或cond(Ainf)是判断矩阵病态与否的一种度量，条件数越大表明矩阵的病态程度越大.,而如果A为对称矩阵，如Hilb矩阵，的最大最小特征值，分别为A的最大最小特征值的平方。所以cond(A)为A的最大最小特征值得比值。对于本例中的15阶Hilb矩阵来说，利用上面计算结果得其条件数(选择第二种条件数）为：3.0934e+017；这与直接利用cond(A)得到的结果：2.5083e+017在同一数量级，再次表明了上述算得得最大最小特征值的正确性，同时又表明Hilb矩阵是病态矩阵。Aitken商加速法简介与原理同幂法和反幂法计算最大和最小特征值类似，如果计算最大特征值，则迭代格式为；计算最小特征值时，迭代格式为。算法实现计算按模最大特征值算法如下：类似幂法和反幂法可以写出按模最小特征值算法，此处不再赘述。matlab程序代码function[r,y]=aitken(A,x0,eps,n)%r按模最大特征值,y为对应特征向量k=1;a0=0;%a相当于a1=1;%a1相当于r0=1;%相当于2中的y=x0./max(abs(x0));%规范化初始向量x=A*y;a2=max(abs(x));%a2相当于r=a0-(a1-a0)^2/(a2-2*a1+a0);%相当于if(a2-2*a1+a0)==0%