现代数值计算方法公式总结.doc

现代数值计算方法公式插值法1.拉格朗日（Lagrange）插值法a)两点一次：L1x=x-x1x0-x1y0+x-x0x1-x0y1R1x=fx-L1x=f''ξ2!(x-x0)(x-x1)(x0<ξ<x1)b)三点二次：L2x=x-x1x-x2x0-x1x0-x2y0+x-x0x-x2x1-x0x1-x2y1+x-x0x-x1x2-x0x2-x1y2R2x=fx-L2x=f3ξ3!(x-x0)(x-x1)(x-x2)(x0<ξ<x2)2.牛顿（Newton）插值a)n次牛顿法多项式：Nnx=fx0+fx0,x1x-x0+…+fx0,x1,…xnx-x0…(x-xn-1)Rnx=fx-Nnx=fn+1ξn+1!ωn+1x(x0<ξ<xn)其中ωn+1x=x-x0x-x1…(x-xn-1)xkf(xk)一阶差商二阶差商三阶差商四阶差商x0f(x0)f[x0,x1]f[x1,x2]f[x2,x3]f[x3,x4]f[x0,x1,x2,x3]f[x1,x2,x3,x4]x1f(x1)f[x0,x1,x2]x2f(x2)f[x1,x2,x3]f[x0,x1,x2,x3,x4]x3f(x3)f[x2,x3,x4]x4f(x4)fx0,x1=fx1-fx0x1-x0fx0,x1,x2=f[x1,x2]-f[x0,x1]x2-x0b)向前差分：Nnx0+th=y0+tΔy0+…+tt-1t-2…(t-n+1)n!Δny0Rnx0+th=tt-1t-2…t-nn+1!hn+1fn+1ξ(x0<ξ<xn)xkykΔyiΔ2yiΔ3yiΔ4yix0y0Δy0Δy1Δy2Δy3Δ3y0Δ3y1x1y1Δ2y0x2y2Δ2y1Δ4y0x3y3Δ2y2x4y4Δyi=yi+1-yiΔ2yi=Δyi+1-Δyi下减上c)向后差分：Nnxn+th=yn+t∇yn+…+tt+1…(t+n-1)n!∇nynRnxn+th=tt+1t+2…t+nn+1!hn+1fn+1ξ(x0<ξ<xn)xkyk∇yi∇2yi∇3yi∇4yix4y4∇y4∇y3∇y2∇y1∇3y4∇3y3x3y3∇2y4x2y2∇2y3∇4y4x1y1∇2y2x0y0∇yi=yi-yi-1∇2yi=∇yi-∇yi-1上减下3.三次埃米尔特（Hermite）插值xx0x1yy0y0y'm0m1H3x=a0xy0+a1xy1+β0xm0+β1(x)m1a0x=(1+2x-x0x1-x0)(x-x1x0-x1)2a1x=(1+2x-x1x0-x1)(x-x0x1-x0)2β0x=(x-x0)(x-x1x0-x1)2β1x=(x-x1)(x-x0x1-x0)2R3x=f4ξ4!(x-x0)2(x-x1)2(x0<ξ<x1)拟合曲线（最小二乘）φx=a0+a1x+a2x2Sa0,a1,a2=i=1n[φxi-yi]2=i=1n[(a0+a1xi+a2xi2)-yi]2∂S∂a0=0∂S∂a1=0∂S∂a2=0数值积分牛顿-柯特思（Newton-Cotes）公式梯形求积公式（2节点）I≈T1=b-a2[fa-f(b)]RT1=-b-a312f''(η)复化梯形求积公式I≈h2[fa+2k=1n-1fxk+f(b)]≡TnRTn=-b-a12f''ηh2=O(h2)辛普生求积公式（3节点）I≈S1=b-a6fa+4fa+b2+fbRS1=-b-a52880f4(η)复化辛普生求积公式I≈h6[fa+4k=0n-1fxk+12+2k=1n-1fxk+f(b)]RSn=-b-a2880h4f4η=O(h4)高斯（Gauss）公式高斯-勒让德求积公式先用勒让德公式求解xiLnx=12n∙n!dndxn[(x2-1)n]利用“高斯积分公式具有2n+1次代数精度”将xi带入求Ai将xi、Ai带入公式求取积分、并计算误差。-11fx≈i=0nAifxiRnf=22n+3n+1!42n+32n+2!3f2n+2(ξ)普通积分化标准形式：I=abfxdx积分区间[a,b]变换x=b-a2t-a+b2abfxdx=b-a2-11f(b-a2t+a+b2)dt代数精度若求积公式对f(x)=1,x,x2,…xm时精确成立，而对f(x)=xm+1时不成立，则称此求积公式具有m次代数精确度解线性代数方程组的直接方法三角形分解法求解Ax=b，先将A分解为A=LU，则原式变为Ux=y，那么问题就变为了求解Ly=bUx=y解线性代数方程的迭代法范数向量范数定义：设x∈Rn(orCn)其中R为实数域、C为复数域，若某实值函数N(x)≡||x||满足条件非负性||x||≥0，||x||=0当且仅当x=0成立其次行ax=a||x||三角不等式x+y≤x+||y||称N(x)≡||x||为Rn(orCn)域上的一个向量范数常见范数：||x||∞=