2023年安徽数学竞赛初赛试题及答案版.doc

2023全国高中数学联赛安徽省预赛试卷（考试时间：2023年6月30日上午9:00—11:30）题号一二总分9101112得分评卷人复核人注意：1．本试卷共12小题，满分150分；2．请用钢笔、签字笔或圆珠笔作答；3．书写不要超过装订线；4．不得使用计算器．一、填空题（每题8分，共64分，结果须化简）设三个复数l,i,z在复平面上相应的三点共线，且|z|=5，则z=____．设n是正整数，且满足n5=，则n=____．函数f(x)=|sin(2x)+sin(3x)+sin(4x)|的最小正周期=____．设点P,Q分别在函数y=2x和y=log2x的图象上，则|PQ|的最小值=____．从l,2,…,10中随机抽取三个各不相同的数字，其样本方差s2≤l的概率=____在边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1内部有一小球，该小球与正方体的对角线段AC1相切，则小球半径的最大值=____．设H是△ABC的垂心，且3HA+4HB+5HC=0，则cos∠AHB=____．把l,2,…,n2按照顺时针螺旋方式排成n行n列的表格Tn，第一行是l,2,…,n.例如：T3=.设2023在T100的第i行第j列，则(i,j)= ．二、解答题（第9—10题每题21分，第11—12题每题22分，共86分）如图所示，设ABCD是矩形，点E,F分别是线段AD,BC的中点，点G在线段EF上，点D,H关于线段AG的垂直平分线l对称．求证：∠HAB=3∠GAB．ABCDEFGHl设O是坐标原点，双曲线C：上动点M处的切线交C的两条渐近线于A,B两点：(1)求证：△AOB的面积S是定值.(2)求△AOB的外心P的轨迹方程。(1)求证：对于任意实数x,y,z都有≥．(2)是否存在实数k>，使得对于任意实数x,y,z下式成立？≥试证明你的结论．在正2023边形的每两个顶点之间均连一条线段，并把每条线段染成红色或蓝色求此图形中三边颜色都相同的三角形的最小个数．