高考数学题解法思想指引.docx

高考数学题解法思想指引在数学的知识和技能中，蕴涵着具有普遍性的数学思想，它是数学的精髓和灵魂，是知识转化为能力的桥梁，是人们对数学事实与理论，经过高度提炼概括后产生的本质认识，是数学知识和方法产生的根本源泉，是解决数学问题的指路明灯.对数学思想的应用，是数学学习走向更深层次的一个标志.高考试题中也蕴涵了丰富的数学思想，只有挖掘其中的思想，才能深入认识试题，透彻分析试题，顺利解答试题.试题呈现：已知实数a，b，c满足a+b+c=0，a2+b2+c2=1，则a的最大值是_______.（2014年浙江省数学高考文科试卷第16题）点评：此题虽小，却是亮点.看似平常，却是丰富多彩.入口宽，方法多，蕴涵着丰富的数学思想.探究视角1构造思想方法的应用构造法是一种极其重要的数学思想方法，其本质特征是构造，通过观察、分析已知条件和需要解决的问题，联系已有的知识，构造出适当的数学式子或数学模型，来解决问题.1.构造重要不等式x，y∈R，x2+y2≥2xy，当且仅当x=y时取等.推论：x，y∈R，x2+y2≥，当且仅当x=y时取等.解法1：因为a+b+c=0，a2+b2+c2=1，所以b+c=-a，b2+c2=1-a2，因为（b+c）2≤2（b2+c2），所以a2≤2-2a2，所以3a2≤2，所以-≤a≤，所以a的最大值是，当且仅当b=c时取等.解法2：因为a+b+c=0，a2+b2+c2=1，所以a2=1-（b2+c2）≤1-=1-，所以a2≤2-2a2，所以3a2≤2，所以-≤a≤，当且仅当b=c时取等.解法3：因为a+b+c=0，a2+b2+c2=1，所以b+c=-a，b2+c2=1-a2，所以bc==a2-.因为b，c∈R，b2+c2≥2bc，所以a2≤2-2a2，所以3a2≤2，所以-≤a≤，所以a的最大值是，当且仅当b=c时取等.2.构造柯西不等式二维柯西不等式：任取实数x1，x2，y1，y2，（x21+x22）（y21+y22）≥（x1y1+x2y2）2，当且仅当xi=kyi（i=1，2）时取等.解法4：因为a+b+c=0，a2+b2+c2=1，所以b+c=-a，b2+c2=1-a2.由柯西不等式可得（b2+c2）（12+12）≥（b+c）2，所以a2≤2-2a2，所以3a2≤2，所以-≤a≤，所以a的最大值是，当且仅当b=c时取等.探究视角2函数与方程思想方法的应用函数与方程思想是数学本质的思想之一.函数思想是指利用函数的概念与性质去分析问题、转化问题、解决问题.方程思想是指从问题的数量关系入手，用数学语言问题中的条件转化为数学模型，如方程、不等式、方程与不等式组等，然后通过解方程或不等式组使问题得到解决.解法5：（构造方程）因为a+b+c=0，a2+b2+c2=1，所以b+c=-a，b2+c2=1-a2，所以bc==a2-，所以b，c为一元二次方程x2+ax+a2-=0的两个分布在（-1，1）上的实根.所以Δ=a2-4a2-≥0，1+a+a2->0，1-a+a2->0，-1所以a2≤，所以-≤a≤，所以a的最大值是.点评：此法是将已知条件转化为一元二次方程，常用判别式来探求根的情况，但要注意根的分布.解法6：（消元，减少变量）因为a+b+c=0，a2+b2+c2=1，所以c=-（a+b）.所以（a+b+c）2=a2+b2+c2+2（ab+bc+ac），所以ab+bc+ac=-.消掉c得，a2+b2+ab-=0.解法7：（增量换元，构造函数）因为a+b+c=0，a2+b2+c2=1，所以b+c=-a，b2+c2=1-a2.所以令b=-+x，c=--x，x∈R，则-+x+--x=1-a2，x∈R.所以a2=（1-2x2），x∈R，所以a2≤，所以-≤a≤，所以a的最大值是.解法8：（三角换元）因为a+b+c=0，a2+b2+c2=1，所以b+c=-a，b2+c2=1-a2，b=sinθ，c=cosθ，则-a=b+c=（sinθ+cosθ）=·sinθ+.所以sinθ+=，所以≤1.所以a2≤，所以-≤a≤，所以a的最大值是.点评：换元法又称辅助元素法、变量代换法，即通过引进新的变量，可以将分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者将条件与结论联系起来，或者变为熟悉的形式，从而将复杂的计算和证明简化.探究视角3数学结合思想华罗庚先生说过：“数与形本是两依倚，焉能分作两边飞.数缺形时少直观，形少数时难入微.”数形结合是一种重要的数学思想，运用时关键在于数形相互转化，即用代数方法处理几何问题，或通过构图解决代数问题，数形结合在解题中的应用不仅能整合学生相关的数学知识，而且能培养学生的创新思维.解法9：（坐标思想，直线与圆的位置关系）因为a+b+c=0，a2+b2+c2=1，所以b+c=-a，b2+c2=1-a2，所以点（b，c）在以原点