高考数学复习点拨：例谈导数的应用.doc

例谈导数的应用山东武振高中数学引入导数，为数学问题的解决提供了有力的工具，注入了新的活力。很多数学问题如果利用导数探求思路，不仅能迅速找到问题的切入点，而且能够把复杂的分析推理转化为简单的函数问题，达到避繁就简、化难为易、事半功倍的效果.1.求函数的单调区间和极值和最值例1设函数（1）求函数的单调区间和极值；（2）若当时，恒有，试确定a的取值范围.解：（1）当时，则，当时，则，解得，∴在区间上是增函数，在区间上是减函数.由的图像知，当x=a时，左减右增，故取得极小值，当x=3a时，左增右减，取得极大值，（2）导函数的对称轴区间上是减函数，当时取得最大值，即；当时取得最小值，即.∵当时，恒有，.点评：（1）函数的单调区间要在定义域范围内求，（2）利用函数的单调性是解决最值问题的有力手段.2.求参数范围例2已知a为实数，若在和上都是增函数，求a的取值范围.解：的图像如图,∵在和上都是增函数，，解得，∴a的取值范围是.点评：已知函数单调求参数范围时，要在定义域区间上令，因在定义域范围内有限个导数等于零的点不影响其单调性.3.证明不等式例3已知，求证。证明：视b为变元，构造函数，则，∴在上单调递增，，即。点评：本题通过构造函数，利用导数判断函数的单调性成功的证明了不等式.4.解决实际问题例4请您设计一个微型仓库,它的下部形状是高为1m的正四棱柱,上部的形状是侧棱长为3cm的正四棱锥,试设计四棱锥的高,使仓库的体积最大？解：如图,设四棱锥的高为m,是正四棱锥,且,,又∵ABCD是正方形,∴,则仓库的体积，,令解得或（舍去）,∵当时即在上递增,当时,即在上递减,∴当时,取最大值,故四棱锥的高为1m时仓库的体积最大.点评：在求实际问题中的最值时,一般是先找出自变量,因变量,建立函数关系式,并求出定义域,根据定义域对所给的问题进行取舍.