高中数学讲义100微专题075几何问题的转换.doc

微专题75几何问题的转换一、基础知识：在圆锥曲线问题中，经常会遇到几何条件与代数条件的相互转化，合理的进行几何条件的转化往往可以起到“四两拨千斤”的作用，极大的简化运算的复杂程度，在本节中，将列举常见的一些几何条件的转化。1、在几何问题的转化中，向量是一个重要的桥梁：一方面，几何图形中的线段变为有向线段后可以承载向量；另一方面，向量在坐标系中能够坐标化，从而将几何图形的要素转化为坐标的运算，与方程和变量找到联系2、常见几何问题的转化：（1）角度问题：①若与直线倾斜角有关，则可以考虑转化为斜率②若需要判断角是锐角还是钝角，则可将此角作为向量的夹角，从而利用向量数量积的符号进行判定（2）点与圆的位置关系①可以利用圆的定义，转化为点到圆心距离与半径的联系，但需要解出圆的方程，在有些题目中计算量较大②若给出圆的一条直径，则可根据该点与直径端点连线的夹角进行判定：若点在圆内，为钝角（再转为向量：；若点在圆上，则为直角（）；若点在圆外，则为锐角（）（3）三点共线问题①通过斜率：任取两点求出斜率，若斜率相等，则三点共线②通过向量：任取两点确定向量，若向量共线，则三点共线（4）直线的平行垂直关系：可转化为对应向量的平行与垂直问题，从而转为坐标运算：，则共线；（5）平行（共线）线段的比例问题：可转化为向量的数乘关系（6）平行（共线）线段的乘积问题：可将线段变为向量，从而转化为向量数量积问题（注意向量的方向是同向还是反向）3、常见几何图形问题的转化（1）三角形的“重心”：设不共线的三点，则的重心（2）三角形的“垂心”：伴随着垂直关系，即顶点与垂心的连线与底边垂直，从而可转化为向量数量积为零（3）三角形的“内心”：伴随着角平分线，由角平分线性质可知（如图）：在的角平分线上（4）是以为邻边的平行四边形的顶点（5）是以为邻边的菱形的顶点：在垂直平分线上（6）共线线段长度的乘积：若共线，则线段的乘积可转化为向量的数量积，从而简化运算，(要注意向量的夹角）例如：，二、典型例题：例1：如图：分别是椭圆的左右顶点，为其右焦点，是的等差中项，是的等比中项（1）求椭圆的方程（2）已知是椭圆上异于的动点，直线过点且垂直于轴，若过作直线，并交直线于点。证明：三点共线解：（1）依题意可得：是的等差中项是的等比中项椭圆方程为：（2）由（1）可得：设，设，联立直线与椭圆方程可得：另一方面，因为，联立方程：三点共线例2：已知椭圆的右焦点为，为上顶点，为坐标原点，若△的面积为，且椭圆的离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）是否存在直线交椭圆于，两点，且使点为△的垂心？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．解：（1）椭圆方程为：（2）设，由（1）可得：为△的垂心设由为△的垂心可得：①因为在直线上，代入①可得：即②考虑联立方程：得．,．代入②可得：解得：或当时，△不存在，故舍去当时，所求直线存在，直线的方程为小炼有话说：在高中阶段涉及到三角形垂心的性质，为垂心与三角形顶点的连线垂直底边，所以对垂心的利用通常伴随着垂直条件，在解析几何中即可转化为向量的坐标运算（或是斜率关系）例3：如图，椭圆的一个焦点是，为坐标原点.（1）若椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；（2）设过点且不垂直轴的直线交椭圆于两点，若直线绕点任意转动，恒有,求的取值范围.解：（1）由图可得：由正三角形性质可得：椭圆方程为：（2）设，为钝角联立直线与椭圆方程：，整理可得：恒成立即恒成立解得：的取值范围是例4：设分别为椭圆的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且椭圆上的点到右焦点距离的最小值为（1）求椭圆的方程；（2）设为直线上不同于点的任意一点，若直线分别与椭圆相交于异于的点，证明：点在以为直径的圆内解：（1）依题意可得，且到右焦点距离的最小值为可解得：椭圆方程为（2）思路：若要证在以为直径的圆内，只需证明为钝角，即为锐角，从而只需证明，因为坐标可求，所以只要设出直线（斜率为），联立方程利用韦达定理即可用表示出的坐标，从而可用表示。即可判断的符号，进而完成证明解：由（1）可得，设直线的斜率分别为，，则联立与椭圆方程可得：，消去可得：，即设，因为在直线上，所以，即为锐角，为钝角在以为直径的圆内例5：如图所示，已知过抛物线的焦点的直线与抛物线相交于两点，与椭圆的交点为，是否存在直线使得？若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由解：依题意可知抛物线焦点，设，不妨设则设考虑联立直线与抛物线方程：，消去可得：①联立直线与椭圆方程：，整理可得：②由①②可得：，解得：所以存在满足条件的直线，其方程为：例6：在平面直角坐标系中，已知抛物线的准线方程为，过点作抛物线的切线，切点为（异于点），直线过点与抛物线交于两点，与直线交于点（1）求抛物线的方程（2）试问的值是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说