高中数学讲义100微专题050等比数列性质（含等差等比数列综合题）.doc

微专题50等比数列性质一、基础知识1、定义：数列从第二项开始，后项与前一项的比值为同一个常数，则称为等比数列，这个常数称为数列的公比注：非零常数列既可视为等差数列，也可视为的等比数列，而常数列只是等差数列2、等比数列通项公式：，也可以为：3、等比中项：若成等比数列，则称为的等比中项（1）若为的等比中项，则有（2）若为等比数列，则，均为的等比中项（3）若为等比数列，则有4、等比数列前项和公式：设数列的前项和为当时，则为常数列，所以当时，则可变形为：，设，可得：5、由等比数列生成的新等比数列（1）在等比数列中，等间距的抽取一些项组成的新数列仍为等比数列（2）已知等比数列，则有①数列（为常数）为等比数列②数列（为常数）为等比数列，特别的，当时，即为等比数列③数列为等比数列④数列为等比数列6、相邻项和的比值与公比相关：设，则有：特别的：若，则成等比数列7、等比数列的判定：（假设不是常数列）（1）定义法（递推公式）：（2）通项公式：（指数类函数）（3）前项和公式：注：若，则是从第二项开始成等比关系（4）等比中项：对于，均有8、非常数等比数列的前项和与前项和的关系，因为是首项为，公比为的等比数列，所以有例1：已知等比数列的公比为正数，且，则________思路：因为，代入条件可得：，因为，所以，所以答案：例2：已知为等比数列，且，则（）A.B.C.D.思路一：由可求出公比：，可得，所以思路二：可联想到等比中项性质，可得，则，由等比数列特征可得奇数项的符号相同，所以答案：D小炼有话说：思路二的解法尽管简单，但是要注意双解时要验证项是否符合等比数列特征。例3：已知等比数列的前项和为，则实数的值为（）A.B.C.D.思路：由等比数列的结论可知：非常数列的等比数列，其前项和为的形式，所以，即答案：A例4：设等比数列的前项和记为，若，则（）A.B.C.D.思路：由可得：，可发现只有分子中的指数幂不同，所以作商消去后即可解出，进而可计算出的值解：，解得：所以答案：A例5：已知数列为等比数列，若，则的值为（）A.B.C.D.思路：与条件联系，可将所求表达式向靠拢，从而，即所求表达式的值为答案：C例6：已知等比数列中，则其前5项的和的取值范围是（）A.B.C.D.思路：条件中仅有，所以考虑其他项向靠拢，所以有，再求出其值域即可解：，设，所以答案：A例7：已知数列是首项不为零的等比数列，且公比大于0，那么“”是“数列是递增数列”的（）A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件思路：在等比数列中，数列的增减受到的符号，与的影响。所以在考虑反例时可从这两点入手。将条件转为命题：“若，则数列是递增数列”，如果，则是递减数列，所以命题不成立；再看“若数列是递增数列，则”，同理，如果，则要求，所以命题也不成立。综上，“”是“数列是递增数列”的既不充分也不必要条件答案：D例8：在等比数列中，若，则（）A.B.C.D.解：条件与结论分别是的前项和与倒数和，所以考虑设，则所以答案：B例9：已知等比数列中，各项都是正数，且，则（）A.B.C.D.思路：所求分式中的分子和分母为相邻4项和，则两式的比值与相关，所以需要求出。由条件，将等式中的项均用即可求出。从而解得表达式的值解：成等差数列将代入等式可得：，而为正项数列，所以不符题意，舍去答案：C例10：在正项等比数列中，，则满足的最大正整数的值为____________思路：从已知条件入手可求得通项公式：，从而所满足的不等式可变形为关于的不等式：，由的指数幂特点可得：，所以只需，从而解出的最大值解：设的公比为，则有解得：（舍）或所以所解不等式为：可解得：的最大值为答案：三、历年好题精选（等差等比数列综合）1、已知正项等比数列满足，则的最小值为（）A.B.C.D.2、已知等差数列的首项为，公差为，其前项和为，若直线与圆的两个交点关于直线对称，则（）A.B.C.D.3、（2016，内江四模）若成等比数列，则下列三个数：①②③，必成等比数列的个数为（）A.0B.1C.2D.34、设等差数列的前项和为，且满足，，则，，…，中最大的项为（）A.B.C.D.5、（2016，新余一中模拟）已知等差数列的公差，且成等比数列，若，为数列前项和，则的最小值为（）A.B.C.D.6、（2015，北京）设是等差数列，下列结论中正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则7、（2015，广东）在等差数列中，若，则______8、（2014，北京）若等差数列满足，则当______时，的前项和最大9、（2015，福建）若是函数的两不同零点，且这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则的值等于（）A.B.C.D.10、已知是等差数列，公差，其前项和为，若成等比数列，则（）A.B.C.D.11、（2014