高中数学讲义100微专题013利用函数解决实际问题.doc

微专题13利用数学模型解决实际问题一、基础知识：1、使用函数模型解决实际问题（1）题目特点：叙述中体现两个变量之间的关系（涉及的量也许有多个，但均能够用两个核心变量进行表示）。以其中一个为自变量，则另一个变量可视为自变量的函数，进而搭建出函数模型，再根据导数，均值不等式等工具求出最值（2）需用到的数学工具与知识点：①分段函数：当自变量的不同取值导致解析式不同时，可通过建立分段函数来体现两个变量之间的关系，在题目中若有多种情况，且不同的情况对应不同的计算方式，则通常要用分段函数进行表示。②导数：在求最值的过程中，若函数解析式不是常见的函数（二次函数，对勾函数等），则可利用导数分析其单调性，进而求得最值③均值不等式：在部分解析式中（可构造和为定值或积为定值）可通过均值不等式迅速的找到最值。④分式函数的值域问题：可通过分离常数对分式进行变形，并利用换元将其转化为熟悉的函数求解（3）常见的数量关系：①面积问题：可通过寻底找高进行求解，例如：平行四边形面积底高梯形面积（上底下底）高三角形面积底高②商业问题：总价单价数量利润营业额成本货物单价数量成本③利息问题：利息本金利率本息总和本金利息本金利率本金（4）在解决实际问题时要注意变量的取值范围应与实际情况相符，例如：涉及到个数时，变量应取正整数。涉及到钱，速度等问题，变量的取值应该为正数。2、使用线性规划模型解决实际问题（1）题目特点：叙述中也有两个核心变量，但条件多为涉及两核心变量的不等关系，且所求是关于两个核心变量的表达式，这类问题通常使用线性规划模型来解决问题（2）与函数模型的不同之处①函数模型：体现两核心变量之间的等量关系，根据一个变量的范围求另一个变量的范围（或最值）②线性规划模型：体现关于两变量的不等关系，从而可列出不等式组，要解决的是含两个变量的表达式的最值。（3）解题步骤：根据题目叙述确定未知变量（通常选择两个核心变量，其余变量用这两个进行表示），并列出约束条件和目标函数，然后利用数形结合的方式进行解决（4）注意事项：在实际问题中，变量的取值有可能为整数，若最优解不是整数，则可在最优解附近寻找几对整点，代入到目标函数中并比较大小3、使用三角函数模型解决实际问题（1）题目特点：题目以几何图形（主要是三角形）作为基础，条件多与边角相关（2）需要用到的数学工具与知识点：①正弦定理：设三边所对的角分别为，则有②余弦定理（以和对角为例），③三角函数表达式的化简与变形④函数的值域（3）解题技巧与注意事项：①在求边角问题时，应把所求的边或角放在合适的三角形中②在直角三角形里，已知一条边，则其它边可用该边与内角的三角函数值进行表示③在图形中要注意变量的取值范围二、典型例题：例1：如图所示，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求在的延长线上，在的延长线上，且对角线过点。已知米，米。（1）设（单位：米），要使花坛的面积大于32平方米，求的取值范围；（2）若（单位：米），则当的长度分别是多少时，花坛的面积最大？并求出最大面积。（1）思路：根据相似三角形可得线段比例：，从而解出，则，从而可得，解出的范围即可解：依题意可得：解得：（2）思路：求面积的最大值，即求表达式的最大值，分离常数求解即可解：设设，则则，根据对勾函数可得：时，达到最大值，即此时，所以答：当时，四边形的面积最大，为例2：时下网校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量y（单位：千套）与销售价格:（单位：元/套）满足的关系式，其中为常数．已知销售价格为4元/套时，每日可售出套题21千套．（1）求的值；（2）假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题2元（只考虑销售出的套数），试确定销售价格的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大．（保留1位小数）解：（1）将代入关系式可得：（2）思路：依题意可得售出一套，所得利润为元，所以总的利润，其中，利用导数判定的单调性，进而可求得最大值点解：依题意所获利润化简可得：令，即解不等式解得在单调递增，在单调递减在取得最大值，即例3：某人销售某种商品，发现每日的销售量（单位：kg）与销售价格（单位：元/kg）满足关系式，其中为常数.已知销售价格为8元/kg时，该日的销售量是80kg.（1）求的值；（2）若该商品成本为6元/kg，求商品销售价格为何值时，每日销售该商品所获得的利润最大.解：（1）当时，，解得：（2）思路：依题意可得销售商品所获得利润，所以也是一个分段函数，可以考虑分别求出每段函数值的最大值，然后进行比较即可挑出的最大值。解：设商品利润为，则有，由第（1）问可得：当时，则令，由解得：在单调递增，在单调递减当时，在单调递减例4：已知某食品厂需要定期购买食品配料，该厂每天需要食品配料200千克，配料的价格为元/千克，每次购买配料需支