江苏省洪泽中学2012-2013学年高二下学期期初考试数学试题 WORD版含答案.doc

洪泽中学2012-2013学年高二下学期期初考试数学试题一、填空题1．过平面α的一条平行线可作_________个平面与平面α垂直.3．已知样本数据,,…的方差为4,则数据,,…的标准差是4．已知单位向量,的夹角为，那么．5．在一个球内有一个内接长方体（长方体的各顶点均在球面上），且该长方体的长、宽、高分别为4、、，则这个球的表面积为6．已知函数，对定义域内任意，满足，则正整数的取值个数是7．一个容量为的样本，已知某组的频率为，则该组的频数为__________。8．已知实数x，y满足条件，（为虚数单位），则的最小值是．9．双曲线的渐近线方程是10．已知点、，若直线与线段有公共点，则斜率的取值范围是．11．如图所示，水平地面上有一个大球，现作如下方法测量球的大小：用一个锐角为600的三角板，斜边紧靠球面，一条直角边紧靠地面，并使三角板与地面垂直，P为三角板与球的切点，如果测得PA＝5，则球的表面积为____________12．若函数，则=____________13．四个函数，，，,QUOTE,QUOTE，中，在区间上为减函数的是_________.14．函数的单调递减区间是．二、解答题15．如图，在三棱锥中，底面ABC，点、分别在棱上，且（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）当为的中点时，求与平面所成角的大小的余弦值；（Ⅲ）是否存在点，使得二面角为直二面角？并说明理由.16．在数列中，，；（1）设．证明：数列是等差数列；（2）求数列的前项和。17．如图，正方形、的边长都是1，平面平面，点在上移动，点在上移动，若（）（=1\*ROMANI）求的长；（=2\*ROMANII）为何值时，的长最小；（III）当的长最小时，求面与面所成锐二面角余弦值的大小.18．A．选修4—1几何证明选讲在直径是的半圆上有两点,设与的交点是.求证:19．化简或求值：（1）；（2）.20．大楼共有n层，现每层指派一人，共n个人集中到第k层开会试问如何确定k，能使各位参加会议人员上、下楼梯所走路程总和最小？（假设相邻两层楼梯长都一样）参考答案1．一个2．-13．44．5．6．57．58．9．10．11．300π.12．13．，。14．（，2）15．解：（Ⅰ）∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC.又，∴AC⊥BC.又∴BC⊥平面PAC.（Ⅱ）∵D为PB的中点，DE//BC，∴，又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，垂足为点E.∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角，∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AB，又PA=AB，∴△ABP为等腰直角三角形，∴，∴在Rt△ABC中，，∴.∴在Rt△ADE中，，∴与平面所成的角的大小的余弦值.（Ⅲ）∵AE//BC，又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，又∵AE平面PAC，PE平面PAC，∴DE⊥AE，DE⊥PE，∴∠AEP为二面角的平面角，∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴.∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC，这时，故存在点E使得二面角是直二面角.【解法2】如图，以A为原煤点建立空间直角坐标系，设，由已知可得.（Ⅰ）∵，∴，∴BC⊥AP.又∵，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC.（Ⅱ）∵D为PB的中点，DE//BC，∴E为PC的中点，∴，∴又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，垂足为点E.∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角，∵，∴.∴与平面所成的角的大小的余弦值.16．（1）证明：由得，∵，∴，又，∴是首项为1公差为1的等差数列。（2）由（1）知是首项为1公差为1的等差数列，∴，∴．∴两式相减，得17．（Ⅰ）作MP∥AB交BC于点P，NQ∥AB交BE于点Q，连结PQ，依题意可得MP∥NQ，且MP=NQ，即MNQP是平行四边形，∴MN=PQ.由已知，CM=BN=a，CB=AB=BE=1，∴AC=BF=，即（Ⅱ）由（Ⅰ），所以，当即M、N分别移动到AC、BF的中点时，MN的长最小，最小值为（Ⅲ）取MN的中点G，连结AG、BG，∵AM=AN，BM=BN，G为MN的中点∴AG⊥MN，BG⊥MN，∠AGB即为二面角A-MN-B的平面角，又AG=BG=，所以，由余弦定理有∴所求余弦值为18．A．选修4—1几何证明选讲证明:作于为直径,（2分）四点共圆,四点共圆.(1)+(2)得（9分）即（10分）19．解：（1）（2）5220．解：设相邻两层楼梯长为a，则问题转化为下列和式S的最小值的探求：S=S（k)=a[1+2+3++(k─1)]+a[1+2++（n–k)]=a[k2–(n+1)k+(n2+n)]目标函数S（k)为k的二次函数，且a>0，故当n为奇数时，取k=，S最小；当为n偶数时，取k=或，S最小