江苏省宿迁市重点中学2015届高三下学期期初开学联考数学（理）试题 WORD版含解析.doc

一、填空题：1.已知集合，则．【答案】【解析】试题分析：考点：集合交集2.已知，那么复数.【答案】【解析】考点：复数运算3.从这五个数中任取两个数，这两个数的和是奇数的概率为．【答案】【解析】考点：古典概型概率4.已知等比数列中，各项都是正数，且成等差数列，则等于．【答案】【解析】考点：等比数列与等差数列综合5.．为了解宿迁市高三学生的身体发育情况，抽查了宿迁市100名高三男生的体重.根据抽样测量后的男生体重（单位：kg）数据绘制的频率分布直方图如图所示，则这100名学生中体重值在区间，因此当α＋＝，即α＝时，PM＋PN取得最大值2．（第15题）（2）由题设，得在Rt△PMC中，PM＝PC·sin∠PCM＝2sinα；在Rt△PNC中，PN＝PC·sin∠PCN＝PC·sin(π－∠PCB)＝2sin＝2sin(α＋)，α∈(0，).………………6分考点：正弦定理，三角函数性质16.（本小题满分14分）在正三棱柱中，点是的中点，．（1）求证：∥平面；（2）试在棱上找一点，使．【答案】（1）详见解析（2）为的中点．【解析】的中点与对边顶点连线存在垂直关系，故取为的中点．再根据线面垂直判定及性质定理进行论证.证明如下：∵在正三棱柱中，，∴四边形是正方形．∵为的中点，是的中点，∴，………9分∵平面平面,平面平面，平面，∴平面．∵平面，∴．………13分考点：线面平行判定定理，线面垂直判定及性质定理17.（本小题满分14分）如图，2015年春节，摄影爱好者在某公园处，发现正前方处有一立柱，测得立柱顶端的仰角和立柱底部的俯角均为，已知的身高约为米（将眼睛距地面的距离按米处理）(1)求摄影者到立柱的水平距离和立柱的高度；(2)立柱的顶端有一长2米的彩杆绕中点在与立柱所在的平面内旋转．摄影者有一视角范围为的镜头，在彩杆转动的任意时刻，摄影者是否都可以将彩杆全部摄入画面？说明理由．【答案】（1）水平距离为3米，立柱高为米（2）摄影者可以将彩杆全部摄入画面.【解析】试题解析：：(1)如图,不妨将摄影者眼部设为S点,作SC垂直OB于C,又故在中,可求得BA=3,即摄影者到立柱的水平距离为3米………3分由SC=3，在中,可求得又故即立柱高为米.--------------6分故摄影者可以将彩杆全部摄入画面.……………………………………………10分考点：解三角形的实际应用；余弦定理18.（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：（a＞b＞0）的上顶点到焦点的距离为2，离心率为．（1）求a，b的值．（2）设P是椭圆C长轴上的一个动点，过点P作斜率为k的直线l交椭圆C于A、B两点．（ⅰ）若k＝1，求△OAB面积的最大值；（ⅱ）若PA2＋PB2的值与点P的位置无关，求k的值．【答案】（1）＋y2＝1．（2）（ⅰ）m＝±时，S△OAB取得最大值1．（ⅱ）±.【解析】先表示出PA2＋PB2，再按m整理，最后根据与点P的位置无关得到对应项系数为零，从而解出k的值．试题解析：（1）由题设可知a＝2，e，所以c＝，故b＝1．因此，a＝2，b＝1．…………………2分而y1＝x1－m，y2＝x2－m，因此，∣AB|＝点O到直线l的距离d＝，又－2≤m≤2，即m2∈．所以，当5－m2＝m2，即m2＝，m＝±时，S△OAB取得最大值1．…………………8分(ⅱ)设直线l的方程为y＝k(x－m).将直线l与椭圆C的方程联立，即．将y消去，化简得(1＋4k2)x2－8mk2x＋4(k2m2－1)＝0，解此方程，可得，x1＋x2＝，x1·x2＝．…………………10分所以，所以，k的值为±.…………………16分考点：椭圆基本量，直线与椭圆位置关系19.(本题满分16分)设函数.（1）若=1时，函数取最小值，求实数的值；（2）若函数在定义域上是单调函数，求实数的取值范围；（3）若，证明对任意正整数，不等式都成立.【答案】（1）-4.（2）（3）详见解析【解析】系：即证当时,有f(x)＜x3.这可利用导数给予证明试题解析：（1）由x+1＞0得x＞–1∴f(x)的定义域为(-1，+∞),对x∈(-1，+∞),都有f(x)≥f(1)，∴f(1)是函数f(x)的最小值，故有f/(1)=0,解得b=-4.经检验，列表（略），合题意；（2）∵又函数在定义域上是单调函数，∴≥0或≤0在(-1，+∞)上恒成立.（3）当b=-1时，函数f(x)=x2-ln(x+1)，令函数h(x)=f(x)–x3=x2–ln(x+1)–x3，则h/(x)=-3x2+2x-，∴当时，h/(x)＜0所以函数h(x)在上是单调递减.又h(0)=0，∴当时，恒有h(x)＜h(0)=0,即x2–ln(x+1)＜x3恒成立.故当时,有f(x)＜x3..∵取则有∴,故结论成立。考点：利用导数研究函数性质20.已知数列{an