江苏省南通市如皋中学2021届高三上学期第一次阶段测试数学试卷 WORD版含答案.docx

如皋中学2020/2021学年度第一学期阶段检测数学一、选择题1．为虚数单位，，则的共轭复数为（）A．B．C．D．2．函数的零点所在的大致区间是（）A．B．C．D．3．已知集合，集合，则等于（）A．B．C．D．4．指数函数（，且）在上是减函数，则函数在其定义域上的单调性为（）A．单调递增B．单调递减C．在上递增，在上递减D．在上递减，在上递增5．已知函数若，则的取值范围是（）A．B．C．D．6．设函数，则函数的图像可能为（）A．B．C．D．7．对于给定的复数，若满足的复数对应的点的轨迹是椭圆，则的取值范围是（）A．B．C．D．8．平面向量，，，则向量，夹角的余弦值为（）A．B．C．D．二、多项选择题9．下列函数中，在其定义域内是偶函数的有（）A．B．C．D．10．给出四个选项能推出的有（）A．B．C．D．11．如图所示，在长方体，若，，分别是，的中点，则下列结论中不成立的是（）A．与垂直B．平面C．与所成的角为45°D．平面12．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列命题正确的是（）A．当时，B．函数有3个零点C．的解集为D．，都有三、填空题13．如图，某种螺帽是由一个半径为2的半球体挖去一个正三棱锥构成的几何体，该正三棱锥的底面三角形内接于半球底面大圆，顶点在半球面上，则被挖去的正三棱锥体积为______．14．函数在区间上有两个零点，则的取值范围是______．15．已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是______．16．在中，若，则的最大值为______．四、计算题17．已知二次函数满足，，若，是的两个零点，且．（1）求的解析式；（2）若，求的最大值．18．已知是定义在上的奇函数，且当时，，．（1）若函数恰有三个不相同的零点，求实数的值；（2）记为函数的所有零点之和．当时，求的取值范围．19．有甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司底薪80元，送餐员每单抽成4元；乙公司无底薪，40单以内（含40单）的部分送餐员每单抽成6元，超过40单的部分送餐员每单抽成7元．现从这两家公司各随机选取一名送餐员，分别记录其50天的送餐单数，得到如下频数分布表：送餐单数89012甲公司天数0050乙公司天数0500（1）从记录甲公司的50天送餐单数中随机抽取3天，求这3天的送餐单数都不小于40单的概率；（2）假设同一个公司的送餐员一天的送餐单数相同，将频率视为概率，回答下列两个问题：（ⅰ）求乙公司送餐员日工资的分布列和数学期望；（ⅱ）小张打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日均工资的角度考虑，小张应选择哪家公司应聘？说明你的理由．20．如图，四边形与均为菱形，，且．（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．21．已知函数，．（1）当时，求函数的单调区间；（2）当时，恒成立，求的取值范围；（3）设，求证：．2020/2021学年度第一学期阶段检测数学答案1．A2．B3．C4．C5．D6．B7．A8．A9．CD10．ABD11．ABD12．CD13．14．15．16．17．解（1）：，，是的两个零点，且．的对称轴为：，可得，，设，由得，∴．（2）∵当且仅当，即时等号成立．∴的最大值是．18．（1）作出函数的图象，如图，由图象可知，当且仅当或时，直线与函数的图象有三个不同的交点，∴当且仅当或时，函数恰有三个不相同的零点．（2）由的图象可知，当时，有6个不同的零点，设这6个零点从左到右依次为，，，，，，则，，是方程的解，是方程的解．∴，当时，，∵，∴当时，的取值范围为．19．（1）由表知，50天送餐单数中有30天的送餐单数不小于40单，记抽取的3天送餐单数都不小于40为事件，则．（2）（ⅰ）设乙公司送餐员的送餐单数为，日工资为元，则当时，；当时，；当时，；当时，；当时，．所以的分布列为：228234240247254．（ⅱ）依题意，甲公司送餐员的日平均送餐单数为，所以甲公司送餐员的日平均工资为元，因为，所以小张应选择甲公司应聘．（意对即可）20．（1）设与相交于点，连接，∵四边形为菱形，∴，且为中点，∵，∴，又，∴平面．（2）连接，∵四边形为菱形，且，∴为等边三角形，∵为中点，∴，又，∴平面．∵，，两两垂直，∴建立空间直角坐标系，如图所示，设，∵四边形为菱形，，∴，．∵为等边三角形，∴．∴，，，，∵，，∴．∴，，．设平面的法向量为，则，取，得．设直线与平面所成角为，则．21．解：（1）当时，，，由，解得；由，解得，因此函数单调增区间为，单调递减区间为．（2），故．当时，因为，所以，因此恒成立，即在上单调递增，所以恒成立．当时，令，解得．当，，单调递增；当，，单调递减；于是，与恒成立相矛盾．综上，的取值范围为．（3）由（2）知，当时，．令，则即，因此，所以．