21版高考数学人教A版浙江专用大一轮复习核心考点&精准研析 5-3 平面向量的数量积及应用举例 WORD版含解析.doc

温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。核心考点·精准研析考点一平面向量的数量积的基本概念及运算1.(2020·杭州模拟)已知正六边形O-P1P2P3P4P5的边长为1,则·(i=1,2,3,4,5)的最大值是()A.1B.C.D.2【解析】选B.如图,当i=1,2,3,4,5时,·(i=1,2,3,4,5)的值相应是1,,1,0,-,故最大值为.2.已知点A(-1,1),B(1,2),C(-2,-1),D(3,4),则向量在方向上的投影为()A.B.C.-D.-【解析】选A.=(2,1),=(5,5),由定义知在方向上的投影为||cosθ===.3.已知|a|=|b|=1,向量a与b的夹角为45°,则(a+2b)·a=________.【解析】因为|a|=|b|=1,向量a与b的夹角为45°,所以(a+2b)·a=a2+2a·b=|a|2+2|a|·|b|cos45°=1+.答案:1+【一题多解】坐标法解T3,因为|a|=|b|=1,向量a与b的夹角为45°,可设a=,b=(1,0),则a+2b=,(a+2b)·a=×+=1+.答案:1+平面向量数量积的三种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时,可利用定义法求解,即a·b=|a||b|cos<a,b>.(2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2.(3)对于数量积与线性运算的综合问题,可先运用数量积的运算律,几何意义等化简,再运算.考点二平面向量的数量积在几何中的应用【典例】1.已知O,N,P在△ABC所在平面内,且||=||=||,++=0,且·=·=·,则点O,N,P依次是△ABC的()世纪金榜导学号A.重心外心垂心B.重心外心内心C.外心重心垂心D.外心重心内心(注:三角形的三条高线交于一点,此点为三角形的垂心)2.在△ABC中,∠A=60°,AB=3,AC=2.若=2,=λ-(λ∈R),且·=-4,则λ的值为________.【解题导思】序号联想解题1看到三个题设条件,想到△ABC的“三心”2看到“·=-4”,想到和分别用,来表示【解析】1.选C.由||=||=||知,O为△ABC的外心;由++=0知,N为△ABC的重心;因为·=·,所以(-)·=0,所以·=0,所以⊥,即CA⊥PB,同理AP⊥BC,CP⊥AB,所以P为△ABC的垂心.2.·=3×2×cos60°=3,=+,则·=·(λ-)=×3+×4-×9-×3=-4⇔λ=.答案:1.平面向量中数量积的三种求法(1)利用定义求解.(2)利用向量的坐标运算求解.(3)利用向量数量积的几何意义求解.2.向量的数量积在平面几何应用中的解题策略(1)利用运算律结合图形先化简再运算.(2)注意向量的夹角与已知平面几何中的角的关系(相等还是互补).【拓展】三角形四心的向量表示在三角形ABC中,点O为平面内一点,若满足:(1)++=0,则点O为三角形的重心.(2)||=||=||,则点O为三角形的外心.(3)·=·=·,则点O为三角形的垂心.(4)||·+||·+||·=0,则点O为三角形的内心.平面四边形ABCD中,+=0,(-)·=0,则四边形ABCD是()A.矩形B.正方形C.菱形D.梯形【解析】选C.因为+=0,所以=-=,所以四边形ABCD是平行四边形.又(-)·=·=0,所以四边形对角线互相垂直,所以四边形ABCD是菱形.考点三平面向量数量积的综合应用命题精解读考什么:(1)平面向量的模,平面向量的夹角,平行、垂直问题;(2)考查数学运算等核心素养,以及数形结合,转化与化归的思想.怎么考:与平面向量基本定理,坐标运算,平面几何结合考查求模,夹角,夹角余弦值,参数等等.学霸好方法1.在求向量的模时,一定要注意公式|a|=QUOTE的应用,即将向量的长度(或模)转化为向量数量积.2.求两个向量的夹角,常常利用两个向量夹角的余弦公式,求其夹角的余弦,然后利用余弦函数的单调性求角.3.解决关于平面向量的平行与垂直问题,其关键是充分利用平行与垂直的充要条件,得出一个等式,然后求解.平面向量的模【典例】1.(2019·全国卷Ⅱ)已知=(2,3),=(3,t),||=1,则·=()A.-3B.-2C.2D.3【解析】选C.因为=-=(1,t-3),又因为||=1,即12+(t-3)2=12,解得t=3,所以=(1,0),所以·=2.2.已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则|+3|的最小值为________.世纪金榜导学号【解析】建立平面直角坐标系如图所示,则A(2,0),设P(0,y),C(0,b),则B(1,b)