2022届高中数学讲义微专题96 平面几何 WORD版含解析.doc

微专题96平面几何一、基础知识：1、相似三角形的判定与性质（1）相似三角形的判定①三个角：若两个三角形对应角都相等，则这两个三角形相似注：由三角形内角和为可知，三角形只需两个内角对应相等即可②两边及一夹角：若两个三角形的两条边对应成比例，且所夹的角相等，则这两个三角形相似③三边：若两个三角形三边对应成比例，则这两个三角形相似④（直角三角形）若两个直角三角形有两组对应边成比例，则这两个直角三角形相似（2）相似三角形性质：若两个三角形相似，这它们的对应角相等，对应边成比例即相似比（主要体现出“对应”两字），例如：若，则有：2、平行线分线段成比例：如图：已知，且直线与平行线交于，则以下线段成比例：（1）（上比下）（2）（上比全）（3）（下比全）3、常见线段比例模型：（1）“A”字形：在中，平行的直线交三角形另两边于，即形成一个“A”字，在“A”字形中，可得，进而有以下线段成比例：①②③（2）“8”字形：已知，连结相交于，即形成一个“8”字，在“8”字形中，有：，从而4、圆的几何性质：（1）与角相关的性质①直径所对的圆周角是直角②弦切角与其夹的弧所对的圆周角相等③同弧（或等弧）所对的圆周角是圆心角的一半④圆内接四边形，其外角等于内对角（2）与线段相关的性质：①等弧所对的弦长相等②过圆心作圆上一条弦的垂线，则直线垂直平分该弦③若一条直线与圆相切，则圆心与切点的连线与该直线垂直5、与圆相关的定理（1）切割线定理：设是的切线，为割线，则有：（2）相交弦定理：设是圆内的两条弦，且相交于，则有（3）切线长定理：过圆外一点可作圆的两条切线，且这两条切线的长度相等6、射影定理：已知在直角三角形中，，为斜边上的高（双垂直特点），则以下等式成立：注：射影定理结合勾股定理，以及等面积法。在直角三角形中的边这五条线段中，可做到已知两条边的长度，即可求出所有边的长度7、平面几何中线段长度的求法：（1）观察所求线段是否是某个定理的一部分，从而凑齐该定理的其他条件即可求出该线段（2）考虑所求线段是否与其它线段存在比例关系（3）可将此线段放入三角形中，考虑是否能通过正余弦定理解决（4）若不易找到题目中各线段与所求线段的联系，可考虑将所求线段设为，通过方程进行求解。二、典型例题：例1：如图，已知切于点，割线与弦相交于点，且，若，则的长为___________思路：由是切线，是割线联想到切割线定理，所以有：，解得，从而，求可联想到相交弦定理：，即，其中，，代入可得：答案：例2：如图，四边形内接于圆，与圆相切于点，，为的中点，，，，则．思路：由与圆相切可想到切割线定理：即，因为是直径，且为的中点，所以垂直平分，且和为对称的直角三角形。所以，，所以。在中，由切线可知，且，所以由射影定理可知，则，进而答案：例3：如图，与圆相切于，为圆的割线，并且不过圆心，已知，，，则圆的半径等于__________．思路：由与圆相切于可知，可得，从而，在中，可由，，可得：，从而，观察圆内的弦，延长交圆于，从而有，与半径进行联系可得：，代入数值可得答案：例4：如图，是半圆的直径延长线上一点，切半圆于点，于，若，则（）A.B.C.D.思路：因为切半圆于点，所以考虑连结圆心与切点，可得：，在中具有双垂直的特点，所以只需已知两条边即可求出，由切割线定理可得：，，所以，即，从而，由射影定理可得：答案：B例5：如图，为外接圆的切线，平分，交圆于，共线．若，则圆的半径是．思路：由可知为圆的直径，由弦切角性质可得，且在圆中（对同弧），由平分可得，进而，在中，可知：，所以由可得：，在中，，可得，从而答案：例6：如图，内接于⊙，过中点作平行于的直线，交于点，交⊙于、，交⊙在点切线于点，若，则的长为．思路：由为切线可想到切割线定理，所以，，只需求出即可。因为为切线，所以弦切角，因为，所以，从而，进而可证，由相交弦定理可知：，所以，所以，代入可得：答案：例7：如图，已知和是圆的两条弦，过点作圆的切线与的延长线相交于，过点作的平行线与圆交于点,与相交于点,,,,则线段的长为_________思路：由是切线且是割线可想到切割线定理，所以①，分别计算各线段长度。由,,可使用相交弦定理得：，再由可得：，所以，同时，代入①可得：答案：例8：如图，已知与相切，为切点，过点的割线交于两点，弦，相交于点，点为上一点，且，若，，，则.思路：由与相切可想到切割线定理，即，只需求出即可。从题目条件中很难直接求出这两个量，考虑寻找题目中的相似三角形。由可得：，所以①。由切割线定理可知②。因为，所以，进而，所以，则，代入，可得，所以，由①可算得，所以，。则答案：例9：如图，切圆于点，割线经过圆心，若，平分交圆于点，连结交圆于点，则的长等于__________思路：由图可知若要求得，可想到切割线定理模型，只需求得即可。由割线与切线可想到切