2021高考数学一轮复习 专练32 高考大题专练（三）数列的综合运用（含解析）文 新人教版.doc

专练32高考大题专练(三)数列的综合运用[基础强化]1．设{an}是等差数列，且a1＝ln2，a2＋a3＝5ln2.(1)求{an}的通项公式；(2)求ea1＋ea2＋…＋ean.2．记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝－7，S3＝－15.(1)求{an}的通项公式；(2)求Sn，并求Sn的最小值．3．[2020·全国卷Ⅲ]设等比数列{an}满足a1＋a2＝4，a3－a1＝8.(1)求{an}的通项公式；(2)记Sn为数列{log3an}的前n项和．若Sm＋Sm＋1＝Sm＋3，求m.4．[2020·河南信阳高三测试]设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，an＋1＝2＋Sn.(n∈N*)(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝1＋log2(an)2，求证数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,bnbn＋1)))的前n项和Tn＜eq\f(1,6).5．[2019·全国卷Ⅰ]记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S9＝－a5.(1)若a3＝4，求{an}的通项公式；(2)若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范围．专练32高考大题专练(三)数列的综合运用1．解析：(1)设{an}的公差为d.因为a2＋a3＝5ln2，所以2a1＋3d＝5ln2.又a1＝ln2，所以d＝ln2.所以an＝a1＋(n－1)d＝nln2.(2)因为ea1＝eln2＝2，eq\f(ean,ean－1)＝ean－an－1＝eln2＝2，所以{ean}是首项为2，公比为2的等比数列．所以ea1＋ea2＋…＋ean＝2×eq\f(1－2n,1－2)＝2(2n－1)．2．解析：(1)设{an}的公差为d，由题意得3a1＋3d＝－15.由a1＝－7得d＝2.所以{an}的通项公式为an＝2n－9.(2)由(1)得Sn＝n2－8n＝(n－4)2－16.所以当n＝4时，Sn取得最小值，最小值为－16.3．解析：(1)设{an}的公比为q，则an＝a1qn－1.由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋a1q＝4，,a1q2－a1＝8.))解得a1＝1，q＝3.所以{an}的通项公式为an＝3n－1.(2)由(1)知log3an＝n－1.故Sn＝eq\f(nn－1,2).由Sm＋Sm＋1＝Sm＋3得m(m－1)＋(m＋1)m＝(m＋3)(m＋2)，即m2－5m－6＝0.解得m＝－1(舍去)或m＝6.4．解析：(1)∵an＋1＝2＋Sn(n∈N*)∴当n≥2时，an＝2＋Sn－1，∴an＋1－an＝Sn－Sn－1＝an，∴an＋1＝2an(n≥2)，又a2＝2＋a1＝4，又a1＝2，∴a2＝2a1，∴{an}是以2为首项以2为公比的等比数列，∴an＝2×2n－1＝2n.(2)证明：∵bn＝1＋log2(an)2，则bn＝2n＋1，∴eq\f(1,bnbn＋1)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n＋1)－\f(1,2n＋3)))，∴Tn＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－\f(1,5)＋\f(1,5)－\f(1,7)＋…＋\f(1,2n＋1)－\f(1,2n＋3)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－\f(1,2n＋3)))＝eq\f(1,6)－eq\f(1,22n＋3)＜eq\f(1,6).5．解析：本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式；考查学生对数列基础知识的掌握程度和应用能力，主要考查数学运算的核心素养．(1)设{an}的公差为d.由S9＝－a5得a1＋4d＝0.由a3＝4得a1＋2d＝4.于是a1＝8，d＝－2.因此{an}的通项公式为an＝10－2n.(2)由(1)得a1＝－4d，故an＝(n－5)d，Sn＝eq\f(nn－9d,2).由a1>0知d<0，故Sn≥an等价于n2－11n＋10≤0，解得1≤n≤10.所以n的取值范围是{n|1≤n≤10，n∈N}．