2021-2022学年高中数学人教B版选择性必修第三册课后巩固提升：6-2-2 导数与函数的极值、最值 WORD版含解析.docx

6.2.2导数与函数的极值、最值课后篇巩固提升必备知识基础练1.函数f(x)的定义域为开区间(a,b),其导函数f'(x)在(a,b)内的图像如图所示,则函数f(x)在开区间(a,b)内的极大值点有()A.1个B.2个C.3个D.4个答案B解析依题意,记函数y=f'(x)的图像与x轴的交点的横坐标自左向右依次为x1,x2,x3,x4,当a<x<x1时,f'(x)>0;当x1<x<x2时,f'(x)<0;当x2<x<x4时,f'(x)≥0;当x4<x<b时,f'(x)<0.因此,函数f(x)分别在x=x1,x=x4处取得极大值,选B.2.函数f(x)的导函数为f'(x)=-x(x+2),则函数f(x)有()A.最小值f(0)B.最小值f(-2)C.极大值f(0)D.极大值f(-2)答案C解析由f'(x)=-x(x+2),令f'(x)=-x(x+2)>0,解得-2<x<0,即函数的单调递增区间为(-2,0),令f'(x)=-x(x+2)<0,解得x>0或x<-2,即函数的单调递减区间为(-∞,-2),(0,+∞),所以函数有极大值f(0),极小值f(-2).故选C.3.函数f(x)=x2·ex+1,x∈[-2,1]的最大值为()A.4e-1B.1C.e2D.3e2答案C解析∵f'(x)=(x2+2x)ex+1=x(x+2)ex+1,∴令f'(x)=0,解得x=-2或x=0.又∵当x∈[-2,1]时,ex+1>0,∴当-2<x<0时,f'(x)<0;当0<x<1时,f'(x)>0.∴f(x)在(-2,0)上单调递减,在(0,1)上单调递增.又f(-2)=4e-1,f(1)=e2,∴f(x)的最大值为e2.4.当x=1时,三次函数有极大值4,当x=3时有极小值0,且函数过原点,则此函数是()A.f(x)=x3+6x2+9xB.f(x)=x3-6x2+9xC.f(x)=x3-6x2-9xD.f(x)=x3+6x2-9x答案B解析∵三次函数过原点,故可设为f(x)=x3+bx2+cx,∴f'(x)=3x2+2bx+c.又x=1,3是f'(x)=0的两个根,∴解得∴f(x)=x3-6x2+9x.又y'=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3),∴当x=1时,f(x)极大值=4,当x=3时,f(x)极小值=0,满足条件,故选B.5.(2021河南开封高三三模)设函数f(x)=,若f(x)的极小值为,则a=()A.-B.C.D.2答案B解析由已知得f'(x)=(x≠-a),令f'(x)=0,有x=1-a,且f(x)在(-∞,1-a)上单调递减,在(1-a,+∞)上单调递增,∴f(x)的极小值为f(1-a)=e1-a=,即1-a=,得a=.故选B.6.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+1,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为3,且x=是y=f(x)的极值点,则a+b=.答案-2解析∵f'(x)=3x2+2ax+b,∴解得a=2,b=-4,∴a+b=2-4=-2.7.(2021甘肃兰州一中高二月考)若函数f(x)=x2-x+alnx有两个不同的极值点,则实数a的取值范围是.答案0,解析因为函数f(x)=x2-x+alnx有两个不同的极值点,所以f'(x)=x-1+=0在(0,+∞)上有2个不同的零点,所以方程x2-x+a=0在(0,+∞)上有两个不同的实数根,所以解得0<a<,故答案为0,.8.函数f(x)=x3-3x2-9x+k在区间[-4,4]上的最大值为10,则其最小值为.答案-71解析f'(x)=3x2-6x-9=3(x-3)(x+1).令f'(x)=0,得x=3或x=-1.又f(-4)=k-76,f(3)=k-27,f(-1)=k+5,f(4)=k-20,则f(x)max=k+5=10,得k=5,∴f(x)min=k-76=-71.9.已知f(x)=ax3+bx2+cx(a≠0)在x=±1处取得极值,且f(1)=-1.(1)试求常数a,b,c的值;(2)试判断x=±1是函数的极大值点还是极小值点,并说明理由.解f'(x)=3ax2+2bx+c,(1)(方法一)∵x=±1是函数的极值点,∴x=±1是方程3ax2+2bx+c=0的两根.由根与系数的关系,得又f(1)=-1,∴a+b+c=-1,③由①②③解得a=,b=0,c=-.(方法二)由f'(1)=f'(-1)=0,得3a+2b+c=0,①3a-2b+c=0,②又f(1)=-1,∴a+b+c=-1,③由①②③解得a=,b=0,c=-.(2)由(1),知f(x)=x3-x,∴f'(x)=x2-(x-1)(x+1).当x<-1或x>1时,f'(x)>0,当-1<x<1时,f'(x)<0.∴函数f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上是增函数,在(-1,1)上是减函数.∴当x