2019高考数学（理）冲刺大题提分练习：大题精做10 圆锥曲线：定点、定值问题（理）（教师版） WORD版含解析.doc

圆锥曲线：定点、定值问题大题精做二数列大题精做十精选大题[2019·甘肃联考]已知椭圆的右焦点为，上顶点为，直线的斜率为，且原点到直线的距离为．（1）求椭圆的标准方程；（2）若不经过点的直线与椭圆交于，两点，且与圆相切．试探究的周长是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由题可知，，，则，直线的方程为，即，所以，解得，，又，所以椭圆的标准方程为．（2）因为直线与圆相切，所以，即．设，，联立，得，所以，，，所以．又，所以．因为，同理．所以，所以的周长是，则的周长为定值．模拟精做1．[2019·安庆期末]已知椭圆过点，焦距长，过点的直线交椭圆于，两点．（1）求椭圆的方程；（2）已知点，求证：为定值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由条件焦距为，知，从而将代入方程，可得，，故椭圆方程为．（2）当直线的斜率不为0时，设直线交椭圆于，，由，可得，，，，，，化简得，当直线斜率为0时，，，，即证为定值，且为．2．[2019·东莞期末]已知椭圆的中心在坐标原点，左右焦点分别为和，且椭圆经过点．（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆的右顶点作两条相互垂直的直线，，分别与椭圆交于点，（均异于点），求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．【答案】（1）；（2）见解析．【解析】（1）设椭圆的标准方程为，，，∴，∴，∴，所以椭圆的标准方程为．（2）①直线斜率存在，设直线，，，联立方程，消去得，，，，又，由，得，即，∴，∴，∴．解得，，且均满足，当时，直线的方程为，直线过定点，与已知矛盾；当时，直线的方程为，直线过定点．②由椭圆的对称性所得，当直线，的倾斜角分别为，，易得直线，，直线，分别与椭圆交于点，，此时直线斜率不存在，也过定点，综上所述，直线恒过定点．3．[2019·漳州一模]已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，且椭圆的一个顶点与抛物线的焦点重合，离心率为．（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆的右焦点且斜率存在的直线交椭圆于，两点，线段的垂直平分线交轴于点，证明：为定值．【答案】（1）；（2）详见解析．【解析】解法一：（1）设椭圆的标准方程为，由抛物线的焦点为，得，①又，②由①②及，解得，所以椭圆的标准方程为．（2）依题意设直线的方程为，设点，，当时，联立方程，得，，所以，，的中点坐标为，的垂直平分线为，令，得，，又，所以，当时，点与原点重合，则，，所以；综上所述，为定值．解法二：（1）同解法一．（2）依题意，当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，设点，，联立方程，得，所以，，，，，所以的中点坐标为，的垂直平分线为，令，得，所以，所以；当直线的斜率为0时，点与原点重合，则，，所以；综上所述，为定值．