2014年高考真题——理科数学（全国大纲卷）精校版 WORD版含解析.doc

2014年普通高等学校统一考试（大纲）理科第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设，则z的共轭复数为（）A．B．C．D．【答案】D．2.设集合，，则（）A．B．C．D．【答案】B.3.设则（）A．B．C．D．【答案】C．4.若向量满足：则（）A．2B．C．1D．【答案】B．5.有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（）A．60种B．70种C．75种D．150种【答案】C．6.已知椭圆C：的左、右焦点为、，离心率为，过的直线交C于A、B两点，若的周长为，则C的方程为（）A．B．C．D．【答案】A．7.曲线在点（1,1）处切线的斜率等于（）A．B．C．2D．1【答案】C．8．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）A．B．C．D．【答案】A．9.已知双曲线C的离心率为2，焦点为、，点A在C上，若，则（）A．B．C．D．【答案】A．10.等比数列中，，则数列的前8项和等于（）A．6B．5C．4D．3【答案】C．11.已知二面角为，，，A为垂足，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【答案】B.12.函数的图象与函数的图象关于直线对称，则的反函数是（）A．B．C．D．【答案】D.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.的展开式中的系数为.（用数字作答）【答案】70.14.设满足约束条件，则的最大值为.【答案】5.15．直线和是圆的两条切线，若与的交点为，则与的夹角的正切值等于.【答案】．16.若函数在区间是减函数，则的取值范围是.【答案】．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，求B.解：由题设和正弦定理得又．18.（本小题满分12分）等差数列的前n项和为，已知，为整数，且.（I）求的通项公式；（II）设，求数列的前n项和.解：（I）由，为整数知，等差数列的公差为整数．又，故于是，解得，因此，故数列的通项公式为．（II），于是．19.（本小题满分12分）如图，三棱柱中，点在平面ABC内的射影D在AC上，，.（I）证明：；（II）设直线与平面的距离为，求二面角的大小.解：解法一：（I）平面，平面，故平面平面．又，平面．连结，∵侧面为菱形，故，由三垂线定理得；（II）平面平面，故平面平面．作为垂足，则平面．又直线∥平面，因而为直线与平面的距离，．∵为的角平分线，故．作为垂足，连结，由三垂线定理得，故为二面角的平面角．由得为的中点，∴二面角的大小为．解法二：以为坐标原点，射线为轴的正半轴，以长为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系．由题设知与轴平行，轴在平面内．（I）设，由题设有则由得，即（①）．于是．（II）设平面的法向量则即．故，且．令，则，点到平面的距离为．又依题设，点到平面的距离为．代入①解得（舍去）或．于是．设平面的法向量，则，即，故且．令，则．又为平面的法向量，故，∴二面角的大小为．20.（本小题满分12分）设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为各人是否需使用设备相互独立.（I）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；（II）X表示同一工作日需使用设备的人数，求X的数学期望.解：记表示事件：同一工作日乙、丙恰有人需使用设备，；表示事件：甲需使用设备；表示事件：丁需使用设备；表示事件：同一工作日至少3人需使用设备．（I），又（II）的可能取值为0，1，2，3，4．，∴数学期望21.（本小题满分12分）已知抛物线C：的焦点为F，直线与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且.（I）求C的方程；（II）过F的直线与C相交于A，B两点，若AB的垂直平分线与C相较于M，N两点，且A，M，B，N四点在同一圆上，求的方程.解：（I）设，代入，得．由题设得，解得（舍去）或，∴C的方程为；（II）由题设知与坐标轴不垂直，故可设的方程为，代入得．设则．故的中点为．又的斜率为的方程为．将上式代入，并整理得．设则．故的中点为．由于垂直平分线，故四点在同一圆上等价于，从而即，化简得，解得或．所求直线的方程为或．22.（本小题满分12分）函数.（I）讨论的单调性；（II）设，证明：.解：（I）的定义域为．（i）当时，若，则在上是增函数；若则在上是减函数；若则在上是增函数．（ii）当时,成立当且仅当在上是增函数．（iii）当时，若，则在是上是增函数；若，则在上是减函数；若，则在上是增函数．（II）由（I）知，当时，在是增函数．当时，，即．又由（I）知，当时，在上是减函数；当时，，即．下面用数学归纳法证明．（i）当时，由已知，故结论成立；（i