(完整版)大连理工大学高等数值分析椭圆方程差分法.doc

椭圆方程差分法1矩形网上差分方程考虑二阶椭圆型偏微分方程的第一边值问题（1.1）其中,是常数；；；是给定的光滑函数。假设（5.1）存在光滑的唯一解。为简单起见，假设是矩形区域，其四个边与相应坐标轴平行。考虑矩形网格：和分别为和方向的步长，为网格内点节点集合，为网格边界点集合，。对于内点用如下的差分方程逼近（1.1）(1.2)-+++=其中。（1.2）通常称为五点差分格式。用（1.1）的真解在网点上的值、等等分别替换（1.2）中的、等等，然后在点处作Tailor展开，便知（1.2）逼近（1.1）的截断误差阶为。方程（1.2）可以改写为（1.3）++++对每一内点都可以列出这样一个方程。遇到边界点时，因为边界点的函数值已知，将相应的项挪到右端去。最后，得到一个以的内点近似值为未知数的线性方程组。这个方程组是稀疏的，并且当和足够小时是对角占优的。可以证明，五点差分格式关于右端和初值都是稳定的，收敛阶为。当是一个一般的区域，并且边界条件包含法向导数（第二和第三边值条件）时，在边界点建立差分方程是一件颇为令人烦恼的事情。