蔡氏电路的混沌仿真研究.docx

蔡氏电路的混沌仿真研究摘要：蔡氏电路是能产生混沌现象的典型且最简单三阶自治电路。该文通过对该非线性电路建立数学模型，解释了产生混沌现象的原因，由李雅普诺夫指数分析了系统的动力学行为，从理论分析和Matlab仿真两个方面分别进行了研究。结果表明，在一定条件下蔡氏电路能够产生双涡旋混沌吸引子，混沌行为复杂，从而理论分析在仿真实验中得到了证实。关键词：蔡氏电路;李雅普诺夫指数;混沌1引言物理、化学、生物学，以及社会讲科学等等各个学科领域中都有混沌现象。作为一种普遍存在的非线性现象，今年来许多专家和学者对非线性电路的混沌行为进行了广泛研究[1-6]，其中最典型的是由美国Berkeley大学的Leon.O.Chua提出的蔡氏电路（Chua’sCircuit），它是能产生混沌行为的最小、最简单的三阶自治电路[7]，其非线性动力学行为复杂丰富，这使得该混沌电路有可能在更广的领域得到应用，如混沌保密通信技术，传感器应用，混沌扩频通信技术等。基于这些特点，对蔡氏电路的讨论和研究也有较高的实践意义。2蔡氏电路模型一般自治动力系统产生混沌现象需要具备一定的条件：系统至少有三个状态变量，并且存在一定的非线性环节[8]。蔡氏电路使用三个储能元件（电感L、两个电容C1和C2）和一个非线性电阻NR，电路如图1所示。由Kirchhoff电流定律（KCL）和Kirchhoff电压定律（KVL），可推出图1电路的状态方程为：（1）其中，VC1为电容C1两端的电压，VC2为电容C2两端的电压，iL为通过电感L的电流，i（VC1）为非线性电阻NR的伏安特性函数：（2）非线性电阻NR是分段线性的蔡氏二极管，是核心元件，它由两个非线性电阻RN1与RN2并联构成，每个非线性电阻又分别由1个运算放大器和3个电阻组成，两个非线性电阻及其伏安特性如图2所示。当适当选取电阻的参数值，使E2>>E1，同时也使E2远大于蔡氏电路正常工作时|VC1|的变化范围，则在电路工作范围内，RN2是一个线性负电阻，RN1与RN2并联后可实现非线性电阻NR的伏安特性，其中，，，。作变量代换，令，，，，，，，，则式（1）可写成：（3）其中，（4）于是，式（3）（4）中、、a和b的变化就反映了图1和图2电路元件参数的变化。3蔡氏电路动力学系统的平衡点分析将式（3）化成线性方程：（5）令，系统到达平衡点时有，即（6）根据的不同形式，在R3的三个子空间：中，都有唯一的平衡点：其中，。在平衡点，为了求其雅可比矩阵，通过计算可得：，在子空间D1和D-1中c=b，子空间D0中c=a。在蔡氏电路中取参数，，，，，，C1=10nF，C2=10nF，L=18mH，，且令E=1，则α=10，β=15.68，a=-1.2768，b=-0.6888。通过计算，子空间D1和D-1中平衡点处相应的特征根为：λ1=-4.5418，λ2=0.2149+3.2707i，λ3=0.2149-3.2707i。其特征根λ1是一个负实数，而λ2和λ3是一对具有正实部的共轭复数。因此平衡点P+和P-是鞍点，从而可知该平衡点是一个不稳定的平衡点。子空间D0中平衡点处相应的特征根为：λ1=3.8890，λ2=-1.0605+3.1679i，λ3=-1.0605-3.1679i。其特征根λ1是一个正实数，而λ2和λ3是一对具有负实部的共轭复数。因此平衡点P+和P-是鞍点，从而可知该平衡点同样是一个不稳定的平衡点。对非线性动力学系统来说，从相空间的角度来分析问题，耗散系统的一个重要特征就是在系统的演化过程体积收缩。对于蔡氏电路动力学系统来说，其流的散度为：，其中，在子空间D1和D-1中c=b，子空间D0中c=a。当c=b时，它的散度是个负值，可见蔡氏电路系统是一个耗散非线性动力学系统。其非线性动力学系统的行为随着时间t趋于无穷而不断演化，在演化过程中其体积是按的负指数规律收缩，其轨道最终将安居在一个不变的吸引子的集合中。4蔡氏电路动力学系统的Matlab仿真通过计算，其李雅普诺夫指数谱如图3所示。由系统的李雅普诺夫指数谱图分析可得，在一定区域内，第一个李雅普诺夫指数，为正值，说明其混沌吸引子的相邻轨线之间呈现出以正指数率彼此互相排斥的特性;另外两个李雅普诺夫指数λL2、λL3均为负值，说明其混沌吸引子的相邻轨线之间呈现出以负指数率互相收缩折叠的特性。在系统动力学行为的演化过程中，由于李雅普诺夫指数值具有正值与负值的性质，导致系统的轨迹在相空间不断伸展与折叠，从而系统相图才形成了奇怪吸引子。该三维非线性自治混沌动力学系统的李雅普诺夫维数是分数维数，其维数为：当系统的初始值被选定为，通过Matlab仿真计算，得到系统的混沌吸引相图如图4所示。其中x-y、x-z、y-z以及x-y-z的二维相平面图是三维相平面图在对应坐标轴上的投影。而这个三维非线性自治混沌