分数阶傅立叶变换的最优阶数论文.doc

现代数字信号处理学号：140808040219学生所在学院：测试与光电工程学院学生姓名：任课教师：教师所在学院：测试与光电工程学院2015年1月分数阶傅立叶变换的最优阶数摘要：传统傅立叶变换描述了信号时域或频域的特性，而不是描述信号时频特性，于是人们提出了一系列新的时频分析理论和方法来处理非平稳信号，分数阶傅立叶变换为其中的一种。本文主要介绍了它的定义、性质，还有它的离散算法，介绍了求最优阶数的方法，主要是峰值搜索算法。最后进行仿真验证，利用MATLAB对一个已知的chirp信号求解最优阶数。关键字：傅立叶变换；分数阶傅立叶变换；峰值搜索算法；MATLAB；最优阶数引言传统的傅立叶变换在所有的信号处理工具中是应用最广泛、研究最成熟的数学工具，作为一种线性算子，传统傅立叶变换可视为在时频平面上，信号从时间轴逆时针旋转到频率轴，而FRFT作为FT的广义形式可理解为对信号旋转任意角度的线性算子，从而可以得到信号的任意阶次或者任意分数阶傅立叶域上的FRFT表示，并且在保留了传统的FT所有性质和优点的基础之上又增添了新的优势。FRFT的定义及其性质FRFT的定义如图1.所示如果把信号的分数阶傅立叶变换看作是从时间-频率平面旋转的话，那么傅立叶变换就相当于在时频平面中逆时针旋转了角度，从时间域变换到频率域。令，是一个分数，那么就可以在时频平面内以任意角度的旋转定义线性算子，记作，我们就可以把傅立叶变换推广到任意角度即分数阶傅立叶变换。图1.平面旋转角度变成平面分数阶傅立叶变换的定义为：(2-1)其中是核函数，(2-2)这里，p=1或-1时退化成为常规的傅立叶变换和逆变换。分数阶傅立叶变换和经典傅立叶变换具有以下的关系：1.分数阶傅立叶变换是线性算子2.周期性(2-3)(2-4)分数傅立叶变换的性质线性分数阶傅立叶变换为线性变换，满足叠加原理：若和分别是原函数和的阶分数傅立叶变换，则有(2-5)旋转相加行(2-6)逆(2-7)酋性(2-8)交换性(2-9)结合性(2-10)周期性(2-11)特征函数(2-12)卷积、相乘、相关①函数、在阶次p分数阶傅立叶域的卷积记作(2-13)②函数、在阶次p分数阶傅立叶域的乘积记作(2-14)③函数、在阶次p分数阶傅立叶域的相关定义为(2-15)时移特性(2-16)频移特性(2-17)尺度特性(2-18)其中微分特性(2-19)积分特性(2-20)3分数阶傅立叶变换的离散的离散算法分数阶傅立叶变换的出现引起了各个领域研究人员的重视，在工程上也有十分广阔的应用前景。在数字信号处理的应用中，必须采用离散形式的分数阶傅立叶变换（DFRFT），这使得离散分数阶傅立叶变换及其快速算法的研究显得十分重要。目前，DFRFT的离散化算法主要有四种：1.利用来计算离散FRFT的核矩阵，从而利用FFT来计算DFRFT其中W是离散傅立叶变换核矩阵。这种方法实际上缺乏理论基础，而且其离散FRFT矩阵不满足连续FRFT的旋转相加性，因此不能用相同的方法计算逆FRFT。实际计算所产生的误差比较大，与连续FRFT没有相似的输出结果。其计算复杂度与传统傅立叶变换相同，为。2.分解方法根据FRFT的表达式，将FRFT分解为信号的卷积形式，从而利用FFT来计算FRFT。这种方法思想比较直观，计算出的记过与连续FRFT的输出比较接近。但它要经过一次2倍内插和2倍抽取，而且还要进行坐标的无量纲化，实现起来较为烦琐。其计算复杂度为。3.利用矩阵的特征值和特征向量来计算DFRFT这种方法保持了连续FRFT的特征值-特征函数的关系，克服了第一种方法中特征值和特征向量不匹配的缺点。采用了两种正交映射的办法DFT的Hermite特征向量，由此开发出两种快速方法，即OPA方法和GSA方法，这两种方法都有和连续FRFT相近的输出结果，可逆性好。其计算复杂度均为。4.直接对FRFT进行离散化来计算DFRFT。这种方法采用直接将连续FRFT离散化的方法来获得离散FRFT的核矩阵，避开了烦琐的特征值和特征向量匹配问题以及矩阵的正交归一化运算，与连续FRFT有相似的输出结果，该算法的计算复杂度为。在目前的研究中，采用的最多的是分解方法和矩阵特征值和特征向量两种方法，下面的内容重点介绍这两种方法。3.1分解方法所谓分解方法是指根据FRFT的表达式，将FRFT分解为信号的卷积形式，从而利用FFT来计算FRFT。这种算法由H.M.Ozaktas等人提出，其计算速度几乎与FFT相当，被公认为目前计算速度最快的一种FRFT数字计算方法，非常适合于对信号进行实时的FRFT计算。但这种快速算法的运算机理决定了在进行FRFT数值计算之前必须对原始信号进行量纲归一化处理。3.1.1量纲归一化原理如果一个信号在时间轴或频率轴的一个子集取非零值，并且取非零值的条件限定在有限区间内，则称该