高数下册笔记精.doc

第七章微分方程§1微分方程得基本概念一、基本概念:1、微分方程;凡表示未知函数,未知函数得导数与自变量之间得关系式称为微分方程.2、常微分方程;如果微分方程中得未知函数就是一元函数,则称此类方程为常微分方程.3、偏微分方程;如果微分方程中得未知函数就是多元函数,则称此类方程为偏微分方程.4、微分方程得阶;微分方程中所出现得未知函数得最高阶导数得阶数,就称为此微分方程得阶.5、微分方程得解;将某个已知函数代入到微分方程得左右两边可使其成为恒等式,那么就称此已知函数为此微分方程得解.6、微分方程得通解:如果微分方程得解中含有任意常数,并且任意常数得个数与微分方程得阶数相等,则这样得解就称为此微分方程得通解.7、微分方程得初始条件与特解、8、微分方程得积分曲线:微分方程得解得图象就是一条平面曲线,称此曲线为微分方程得积分曲线.二.例题分析P263.5.写出由下列条件所确定得曲线所满足得微分方程:例1.曲线在点处得切线得斜率等于该点横坐标得平方、解:设该曲线得方程为,则由题意得:、这就就是所需确定得曲线应满足得微分方程.例2.曲线上点处得法线与轴得交点为,且线段被轴平分、解:设该曲线得方程为,且设曲线在点P处得法线记为L,则其斜率为;设法线Ｌ与Ｙ轴得交点为点Ａ,再设法线Ｌ上任意一点Ｍ得坐标为M,进而得法线Ｌ得方程为:且即;则易求得:且........=1\*GB3①由题意知点Ａ为线段得中点知:且..........=2\*GB3②由上述=1\*GB3①,=2\*GB3②两式最终可得:这就就是所需确定得曲线应满足得微分方程.§2.可分离变量得一阶微分方程(注:它就是一类最易求解得微分方程！)一.一阶微分方程得一般形式与一阶微分方程得对称形式:一般形式:对称形式:二.何为可分离变量得一阶微分方程？如果某一阶微分方程由对称式:,可等价地转化为得形式,则称原方程为可分离变量得微分方程.三.可分离变量得一阶微分方程得基本解法:(可由如下两步来完成求解过程)第一步:进行自变量,与因变量,得左右分离;第二步:方程两边同时作不定积分即可求得原方程得隐式通解.§３.一阶齐次微分方程(注:它就是一类经变量代换之后,可转化为＂变量左右分离得一阶微分方程！)一.一阶齐次微分方程得定义:在某个一阶微分方程中,如果方程右边得函数可写成得函数式即,也即原方程形如:,则称此微分方程为一阶齐次微分方程.二.一阶齐次微分方程得基本解法:转化求解法―――即首先将原一阶齐次微分方程转化为变量分离方程;然后再按变量分离方程得解法去求解即可！具体地说,第一步,作变量代换令,则,代入原一阶齐次微分方程得:;第二步,进行变量与得左右分离得:;第三步,两边求不定积分即可得其解....三.例题分析参见Ｐ271.例１.又如.Ｐ276.１.(4).求方程得通解.解:原方程可转化为,作变量代换令,则;则原方程转化为:(注意:齐次方程在进行变量代换之后,一定就是可以进行变量分离得！)紧接着就进行自变量与因变量得左右分离.最后两边作不定积分即可...§４.一阶线性微分方程一.一阶线性微分方程得定义:称形如:得方程为一阶线性微分方程.(注:因为方程得左边对未知函数及其导数来说就是一次线性组合得形式,所以称上述方程为＂线性＂方程！)(i)、当时,则称为一阶线性齐次微分方程.(ii)、当时,则称为一阶线性非齐次微分方程.二.一阶线性微分方程得解法(常数变易法就是求解线性非齐次方程得基本方法)１.所谓得＂常数变易法＂:就就是为了求解某一阶线性非齐次方程,可先去求解与其所对应得齐次方程;然后在所得齐次方程得通解中,将任意常数Ｃ代换成一个待定得未知函数来构造生成非齐次方程得解;最后再将由此法构造生成得解,代回原非齐次方程中去确定那个待定函数得表达式.―――整个这样得求解过程就称为非齐次方程得常数变易法.(可参考Ｐ278.例１)２.一阶线性微分方程:得通解公式如下:―――请牢记！三.伯努利方程(注:它就是一类经变量代换之后可转化为可分离变量得一阶微分方程！)１.伯努利方程得定义我们称形如:....(＊)得方程为＂伯努利方程＂(或称＂级伯努利方程＂).２.伯努利方程得解法(变量代换转化法)只要令,则,将其代入原级伯努利方程(＊)可得这就是一个一阶线性非齐次方程!进而可由一阶线性非齐次方程得通解公式求出其解,这样也就求出原伯努利方程(＊)得解!３.变量代换法在求解微分方程中得运用利用变量代换(包括自变量得变量代换与因变量得变量代换),把一个微分方程转化为可分离变量方程,或转化为一个已知其求解步骤得方