自主招生试卷分析.pdf

自主招生试卷分析（自主招生辅导内部资料，禁止外传）一：试题特点自从2006年复旦大学、上海交通大学等全国重点院校招生改革“破冰”以来，各校“深化自主选拔录取改革试验”招生方案不断出台。全国自主招生院校数目及招生规模也在增加，引起了教育界和广大考生、家长和中学教师对命题的高度关注。以下就近两年数学考试特点进行剖析。试卷特点分析1.基础知识和基本技能仍是考查重点基础知识、基本技能称之为“双基”。大家知道，能力与“双基”有着辩证关系。没有扎实的“双基”，能力培养就成了无源之水，无本之木。所以，“双基”训练是数学教学的重要任务之一。综观复旦、交大、清华等高校近几年自主招生的数学题目，我们会发现有60%至70%的题目仍是比较基础的。例如近三年来上海交大卷的填空题都是10题（50分），占试卷的一半，这些填空题比较常规，和高考试题难度相当。复旦卷有30题左右的选择题，也多半是学生平时训练过的一些比较熟悉的题型和知识点。2.考查知识点的覆盖面广，但侧重点有所不同复旦、交大等高校近几年自主招生的试题，知识点的覆盖面还是很广的，基本上涉及到高中数学大纲的所有内容。例如，函数、集合、数列、复数、三角、排列、组合、概率统计、向量、立体几何、解析几何等。但高校自主招生试题命题是由大学完成的，更多会考虑到高等数学与初等数学的衔接，所以提请大家注意几个方面：■函数和方程问题、排列组合和概率统计等粗略统计，2008年复旦卷中与函数和方程有关的试题多达10题，占31%。■复数复数通常在高考中要求比较低，占的比分也较少，但在复旦卷中仍占有一席之地（2008年及2007年分别有2题和3题）。■矩阵和行列式这些知识虽然目前还未纳入高考范围，但由于是高等数学中非常重要的内容，近几年在复旦卷中每年都会出现。以上各点，望能引起广大师生的注意。3.注重数学知识和其他科目的整合，考查学生应用知识解决问题的能力二：命题思路研究与探索（一）：列项相消求和的广泛应用背景例1（2004年复旦大学自主招生试题）求证：11111...3233343n3111yy22,n1,2,3,...,证明：lim(....)pn1nnyyyyy...y11212nn(n1)1nn3(1)2233x3ax2bxc0的三个根分别为a,b,c,并且a,b,c是不全为零的有理数例2（2006上海交大保送生考试试题）k2已知：a,则数列a的前100项和为kk!(k1)!(k2)!n例3（2006年复旦大学自主招生试题）下列正确的不等式是（）1201120112011201A.1617B.1819C.2021D.2223kkkki1i1i1i1例4（2008年上海交大冬令营试题）1数列a的通项公式是a，则这个数列的前99项和S=nnnn1(n1)n99例5（1994年高等数学竞赛试题改编）naa设数列a中a0（n=1,2,3，….）Sa，试证明limj存在（提示如果能证明jM即可）nnninS2S2i1jj例6（2010年清华五校自主招生联考试题）设p,q是一元二次方程x22ax10(a0)的两个根，其中p>0令ypq，yy22,1n1n111n1,2,3,...,证明：lim(....)pnyyyyy...y11212n二：基于对称性解题思路导引分析例1（2009年中国科技大学自主招生试题）求证：对任意的x,yR，不等式x2xyy23(xy1)总成立。例2（2009年清华大学自主招生试题）1已知：x,yR,且xy1,证明：x2n+y2n.22n111例3设x(0,),则（sin2x（)cos2x)的最小值为；2sin2xcos2x例4（2002年上海交大保送生考试题）111正实数x,y,z满足x2y2z21,则的最小值是；x2y2z2例5（25届国际奥林匹克试题）7设x,y,z是非负实数，且xyz1,求证：0xyyzxz2xyz。27前面谈到，如果试题具有内在的对称性，往往相对容易，但命题者也注意到这个问题，所以近来也有非对称问题。如2009年全国高中联赛江苏赛区13题：若不等式xykx2y对任意的正实数x,y成立，求k的取值范围。三：以初等数论基础知识为背景的试题相关的常见知识有：奇数的平方被8除余1，质数与合数，奇数与偶数，不定方程的解，NNNN求N！中质因数p的个数为：[][][][]....等等。但有些高校这些不涉及。pp2p3p4例1（2009年清华大学自主招生试题）试证明：当p,q都为奇数时，函数yx22px2q与x轴交点的横坐标为无理数。例2