西南交大线性代数期末试题.pdf

西南交通大学2004-2005（1）线性代数B期末试题(请考生注意本试卷)题四总一二三五目12345分得分一、判断题(正确填T，错误填F。每小题2分，共10分)1．A是n阶方阵，R，则有AA。（）2．A，B是同阶方阵，且AB0，则(AB)1B1A1。（）3．如果A与B等价，则A的行向量组与B的行向量组等价。()4．若A,B均为n阶方阵，则当AB时，A,B一定不相似。()5．n维向量组,,,线性相关，则,,也线性相关。（）1234123二、单项选择题（每小题3分，共15分）1．下列矩阵中，（）不是初等矩阵。001100100100（A）010(B)000(C)020(D)0121000100010012．设向量组,,线性无关，则下列向量组中线性无关的是（）。123（A）,,（B）,,1223311231（C）,,23（D）,,2121223233．设A为n阶方阵，且A2A5E0。则(A2E)1（）11(A)AE(B)EA(C)(AE)(D)(AE)334．设A为mn矩阵，则有（）。（A）若mn，则Axb有无穷多解；（B）若mn，则Ax0有非零解，且基础解系含有nm个线性无关解向量；（C）若A有n阶子式不为零，则Axb有唯一解；（D）若A有n阶子式不为零，则Ax0仅有零解。5．若n阶矩阵A，B有共同的特征值，且各有n个线性无关的特征向量，则（）（A）A与B相似（B）AB，但|A-B|=0（C）A=B（D）A与B不一定相似，但|A|=|B|三、填空题（每小题4分，共20分）0121．。n1n02．A为3阶矩阵，且满足A3,则A1=______，3A*。10213．向量组，，，是线性（填相关124212341570或无关）的，它的一个极大线性无关组是。124．已知,,是四元方程组Axb的三个解，其中A的秩R(A)=3，，12313444，则方程组Axb的通解为。23442315．设A1a1，且秩(A)=2，则a=。503四、计算下列各题（每小题9分，共45分）。1211．已知A+B=AB，且A342，求矩阵B。1222.设(1,1,1,1),(1,1,1,1)，而AT，求An。xxax1123xx2x13.已知方程组123有无穷多解，求a以及方程组的通解。xaxxa21234.求一个正交变换将二次型化成标准型f(x,x,x)x22x22x24xx4xx8xx1231231213235．A，B为4阶方阵，AB+2B=0，矩阵B的秩为2且|E+A|=|2E-A|=0。（1）求矩阵A的特征值；（2）A是否可相似对角化？为什么？；（3）求|A+3E|。五．证明题（每题5分，共10分）。1．若A是对称矩阵，B是反对称矩阵，ABBA是否为对称矩阵？证明你的结论。2．设A为mn矩阵，且的秩R(A)为n，判断ATA是否为正定阵？证明你的结论。