关于质点组内力作功之和与参考系无关的证明.pdf

第２４卷第２期高等函授学报（自然科学版）Ｖｏ１．２４Ｎｏ．２２０１１年４月ＪｏｕｒｎａｌｏｆＨｉｇｈｅｒＣ０ｒｒｅｓｐｏｎｄｅｎｃｅＥｄｕｃａｔｉｏｎ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅｓ）２Ｏ１ｌ大学教学关于质点组内力作功之和与参考系无关的证明张耿民（北京大学电子学系，北京１００８７１）摘要：遵守牛顿第三定律的质点组内力作功之和与参考系无关。在有些教材中，内力作劝此项性质的证明是基于如下论点的：质点组内部两个质点之间相对运动的速度与参考系无关。本文试图指出此种证明方法的不完善之处。当两个参考系之间存在相对转动时，在它们之中观察到的两质点之问相对运动的速度是可以不相等的。但是，此项差异与两质点之间的相互作用力垂直，故不影响内力所作总功。关键词：内力；功；参考系中圈分类号：Ｏ３１３文献标识码：Ａ文章编号：１００６—７３５３（２０１１）０２一Ｏ０１２一Ｏ３在作为大学普通物理课程之一的力学的教学中，经常会强调质点组内力作功的两个性质。首Ｓ先，质点组内力所作总功不一定为零；其次，在牛顿第三定律成立的前提下，质点组内力所作总功不依赖于参考系的选择。此为常识，本无需多言，但作者发现有些教材中关于上述第二个性质的证Ｏ明过程尚有可商榷之处。图１质点１和２在ｓ参考系和Ｓ参考系中的位置１一些教材中的证明方法及其问题所在矢量及二者之间的相对位置矢量。（为简洁起见，图设质点１和质点２为一质点组中的两个质中只给出了二维描述。）点，如图１所示。它们在Ｓ参考系中的位置矢量是ｒ２一ｒ。，＋ｒ２（２）ｒ１和，在Ｓ参考系中的位置矢量是ｒ和ｒ２。ｒ２一ｒｌ＝．．．一＝＝：＝：ｒ２—一ｒ’１（３）Ｌ，ｔｏ＂（未在图中标出）为Ｓ系的原点在Ｓ系中的位－．．（一ｒ１）一ａ＜７：一ｒ７。）（４）置矢量。（坐标系与参考系的概念当然不同。在本设ｄＷ和ｄＷ分别为在Ｓ系和Ｓ系中观察到问题中不妨将坐标系固定在参考系上。）Ｆ－ｚ是质的两个内力所作元功之和。点１受到的来自于质点２的力，Ｆ：是质点２受到Ｗ—Ｆ１２ｄ１＋Ｆ２１ｄ，‘２的来自于质点ｌ的力。假设牛顿第三定律成立，则一Ｆ２１ｄｆｒ２～ｒ１（５）有Ｆ一～Ｆ２，且Ｆ。和Ｆ。皆沿质点１到质点２的同理，连线方向。ｄＷ一１ｄ（ｒ２一一ｒ１）（６）现分别在Ｓ系和Ｓ系中考察此一对内力Ｆ１２因为内力和“相对位置的变化”皆与参考系和Ｆ的作功之和。无关，所以：有些教材中的证明过程如下：ｄＷ＝ｄＷ（７）ｒｌ一＋十，＿ｌ（１）Ｌ１）也有的教材收稿日期：２０１１－－０１—０４．作者简介：张耿民（１９６９一），男，理学博士，教授，研究方向：物理电子学．１２第２４卷第２期高等函授学报（自然科学版）Ｖｏ１．２４Ｎｏ．２２０１１年４月ＪｏｕｒｎａｌｏｆＨｉｇｈｅｒＣｏｒｒｅｓｐｏｎｄｅｎｃｅＥｄｕｃａｔｉｏｎ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅｓ）２０１１从内力作功的功率着手。设，和，分爰篓十三×（１２）别为两个质点在５系和Ｓ系中观察到的速度，Ｐ和Ｐ分别为在Ｓ系和Ｓ系中观察到的内力作功其中ｄ利ｐ分别为在ｓ系和ｓ系中对时间功率。的求导算符。此关系的意义为，“”所表征的是在Ｐ＝Ｆ１２‘Ｖｌ＋Ｆ２１。２一Ｆｚｌ。（２一１）Ｓ系中观察到的Ｓ系的转动。在Ｓ系中，物理量（８）对时间的变化率不应考虑此“三”的存在。因此要Ｐ一Ｆ＋：。＝，（９）２１。（２一１）比多出一项“二×”，可以导致在Ｓ系中观察到的“相对速度”与参考系无关，．．．。一２一１一２一一１’（１０）“牵连变化率”。－．．Ｐ—Ｐ（１１）所以，（４）式虽然正确，但是在此并无意义，即，内力作功的功率与参考系无关。因为等式的右边并不能直接用于计算Ｓ系的内事实上，（１）一（３）、（５）、（８）和（９）式都是准力作功。欲求出在Ｓ系中观察到的内力所作总确无误的，（４）式本身亦无问题。但是（６）式和功，应将（６）式改为：（１Ｏ）式的成立与否则需要更多的讨论。问题并非ｄＷ一ｄ（一一ｒ。）（１３）出自数学推导，而是对表达式物理意义的理解。即，对“相对位置矢量的变化”的观察应该转；一ｒｌ’和ｒ。一ｒ的意义分别为在ｓ系和ｓｒ至“Ｓ系”中进行，而不应仍然停留在“Ｓ系”中。系中质点２相对于质点１的位置矢量。它们都是据作者主观臆测，使用（６）式的教师还是于以质点１为起点，以质点２为终点的矢量，所以它不自觉中认为Ｓ系比Ｓ系“优越”，而没有注意维们自然是相等的［１］。但是，在不同参考系中观察，护二者完全平等的地位。事实上，（１２）式可以改相对位置的变化却未必相同。例如，如果在ｓ系中为，观察到的相对位矢是一个常矢量，而Ｓ系相对于ｄ十（一）ｘ（１４）Ｓ系有转动，则可以有两个结论。首先，在Ｓ系中一观察，质点２相对于质点１的速度是零矢量；其即，在Ｓ系中观察，Ｓ系以角速度ｒ一）转次，在Ｓ系中观察，一般说来，该速度则是一个垂动，两个参考系仍然处于对等之地位。直于相对位矢的