伴随矩阵的性质和应用.docx

伴随矩阵的性质及其应用摘要：伴随矩阵是矩阵理论及线性代数中的一个基本概念,是许多数学分支研究的重要工具。伴随矩阵作为矩阵中较为特殊的一类,其理论和应用有自身的特点.而在大学的学习中,伴随矩阵只是作为求解逆矩阵的工具出现的,并没有深入的研究.本文分类研究伴随矩阵的性质,并讨论其证明过程,得到一系列有意义的结论。(1)介绍伴随矩阵在其行列式、秩等方面的基本性质;(2)研究数乘矩阵、乘积矩阵、分块矩阵的伴随矩阵的运算性质及伴随矩阵在逆等方面的运算性质;(3)研究矩阵与其伴随矩阵的关联性质,主要介绍由矩阵的对称性、正定性、奇异性、正交性推出伴随矩阵的对称性、正定性、奇异性、正交性;(4)研究伴随矩阵间的关系性质,主要研究由两矩阵的相似、合同等关系推出对应的两伴随矩阵之间的关系;(5)研究伴随矩阵在特征值与特征向量等方面的性质;(6)给出m重伴随矩阵的定义及其一般形式,研究m重伴随矩阵的相应的性质。本文的主要创新点在于研究了一类分块矩阵的伴随矩阵的性质。矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。在天体物理、量子力学等领域，也会出现无穷维的矩阵，是矩阵的一种推广。然而伴随矩阵在矩阵中占据着比较特殊的位置，通过它可以推导出逆矩阵的计算公式，使方阵求逆的问题得到解决，伴随矩阵的性质和应用有着与众不同的特点。在矩阵计算及讨论中,常常会遇到伴随矩阵,但对伴随矩阵的一些性质进行系统讨论的却很少,以下将主要针对伴随矩阵的各种性质及应用讨论。关键词：伴随矩阵可逆矩阵方阵性质1、伴随矩阵的定义「aa……a]|11121n||a21a22……a2n|定义1.设A是矩阵A=||中元素a的代数余子式，则矩阵ij||ij||Laa…a」||n1n2nn「AA……A]|AA……A|A*=||称为A的伴随矩阵。||LAA…A」||n1n2nn定义2.设A为n阶方阵，如果有矩阵B满足AB=BA=E,则B就称为A的逆矩阵，记为B=A-1。*注意：只有方阵才有伴随矩阵和逆矩阵。2、伴随矩阵的性质性质1.设A为n阶方阵，AA*=A*A=AE.「d||0证明：由行列式按一列（行）展开:AA*=A*A=||||L00d0……0……00]|0|0|=dE,其中d=A。0|d」|性质2.n阶矩阵A可逆的充分必要条件是矩阵A非退化，即A丰0,且A-1=A*A.A*A证明：若A≠0，则A可逆，且A-1=；反之，若A可逆，则有AA-1=E，所以|AA-1|=|A||A-1|=1故|A|=0.即A非退化。性质3.1.若A为非奇异矩阵，则(A-1)*=(A*)-1.证明：因为(kA)-1=1A-1，由性质2两边取逆可得kA=A(A*)-1故(A*)-1=另一方面，由性质2有（A-1)-1=由(A-1)*=(A*)-1.AA，11A-1A(A-1)*=A(A-1)*常(A-1)*=A，(|n，当秩A=n时性质3.2.设A为n阶矩阵，则秩A*=〈|l，--.证明：（1）当秩A=n时，则A丰0,A是可逆的，即有A-1存在，所以A*=AA-1.可见，秩A*=n。反之，当秩A*=n时，A*可逆时，则有(A*)-1存在，所以A=A(A*)-1,有A丰0，因A=0，从而A*=0，这与秩A*=n矛盾，所以A丰0，于是秩（A）=n；（2）当秩（A）=n-1时，则A必有一个n-1阶子式不为0，即A*中至少有一个元素不为0，所以，秩（A*）>1，另外秩（A）=n-1.则A=0，于是，AA*=AE=0.从而，秩（A）+秩（A*）<n,故秩（A*)<1.这便知秩（A*）=1.反之，若秩（A*）=1，则A*中必有一个A丰0，即是说A必有一个n-1阶子式不为零，故秩A>n-1但ij不能有秩（A）=n，否则，有秩A*=n，而n之2，这样与秩(A*)=1矛盾，所以秩（A）牛n，则（A）<n一1，因此,秩（A）=n一1.（3）当秩（A）<n一1时，则A中一切n一1阶子式均为0，于是一切A=0,A*=0所以，这时有秩ij(A*)=0,反之，若秩(A*)=0,则A*=0,即一切A=0，亦即A的一切n一1阶子式为0，所以秩（A）ij<n一1.该性质可以用来求A的伴随矩阵的秩，A的秩可以直接求出，通过A的秩可以直接求出A的伴随矩阵.性质4.秩A*<秩A.性质5.A*=An一1，其中A是n阶方阵（n之2）.证明：若A牛0，：AA*=AE，常AA*=An常AA*=An常A*=An一1若A=0，这时秩A*<1，常A*=0，而也有A*=An一1综合得A*=An一1.性质6.若A是n阶非零实矩阵，A,=A*,则A牛0.ij证明：用反证法，若A=0，则AA,=AA*=AE=0，令一方面，设A=（a）eRn根n2「|