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版权所有不得复制计量经济学讲义第四讲趋势和DF检验（修订版）此翻译稿制作学习之用，如有错误之处，文责自负。趋势平稳序列（TS）（图1和2）一个趋势平稳序列绕着一个确定的趋势（序列的均值），其波动幅度不显示增大或者减小的趋势。线性确定性趋势：t=1,2,…平方确定性趋势：t=1,2,…通常：t=1,2,…均值是是随时间变化的（川），但是方差是常数。可以为任意平稳序列，也就是说，不一定要是白噪声过程。通过拟合一个确定的多项式时间趋势，趋势可以来消除：拟合趋势后残差将给出一个去趋势的序列。一个带线性确定性趋势AR（1）过程可以写作：t=1,2,…此处确定性趋势被减去。然而在实践中，、是未知的而且必须估计出来。于是模型可以被重述为：其中包含一个截距和一个趋势，也就是此处且若，那么此AR过程就是围绕一个确定性趋势的平稳过程.差分平稳序列（DF）（也叫单整序列）和随机性趋势如果一个非平稳序列可以由一个平稳序列通过d次差分得到，那么我们说这个序列就是d阶单整的，写做I（d）.这一过程也因此叫做差分平稳过程（DSP）.因此，平稳序列就是零阶单整的，I（0）。白噪声序列是I（0）。所以如果序列是平稳的，那么就是I（d）。是差分算子，即如果序列是平稳的话，是I（1）；如果序列是平稳的，是I（2），随机游走（图3）是随机游走的，如果满足此处这是一个AR（1）过程，且在中具有根这一序列被称为具有单位根，或者叫做1阶单整，I（1）。注意：假设此过程在t=0起始处有一个确定的值y0.那么，……(1)注释：(a)在（1）式中，yt被表示为初始值y0和一个序列的局部的和（即所谓的随机趋势）。所有随机冲击对序列yt都有永久的影响，它们可以永久的改变yt的水平，而在平稳序列中，冲击的影响会随着时间的流逝而趋向于零。因此，称随机游走具有一个随机趋势。(b)E（yt）=y0+t*0=y0[定值]Var(yt)=Var()=t2都时间依赖的，即，Var(yt)存在趋势。所以yt是非平稳的。但是yt=是平稳的。这也叫做不带漂移的随机游走。（c）yt=+称作带漂移的随机游走。现在，yt=y0+t+可以推出E（yt）=y0+t均值具有趋势Var(yt)=t2方差具有趋势就是说，不带漂移的随机游走只有方差具有趋势，而带漂移的随机游走均值和方差中都具有趋势，即不仅有确定性趋势y0+t，也有随机性趋势（d）因此随机游走是一个I（1）序列。由于差分平稳序列通常可以用ARMA(p,q)表示，所以随机游走是一种特殊的I（1）序列。但是对于随机游走来说，其中[当由时，我们使用单整这个词，总和单整]（e）在中，冲击的影响会持续到永远，而在平稳序列中，例如，中，冲击的影响会随着时间的流逝趋向于0。（f）一个I（0）序列将围绕着均值波动，而且观测值会频繁的与这个值相交。I（1）序列会不断扩散而很少回到其早先的值。（g）对于I（0）序列其相关系数（迅速地）。对I（1）序列，其相关系数对于任何滞后期k都在1附近。（i）当我们分析分平稳序列的时候，标准分布理论（中心极限定理）会失效。特别地，弱大数定律（WLLN）也不成立。弱大数定律说的是：在一定条件下，当样本容量趋向于无穷的时候，样本距会收敛于总体距。I（0）和I（1）序列的区别—小结I（0）I（1）冲击的影响随时间的消逝趋向于0冲击的影响永远持续观测值绕着均值波动且经常与均值相交观测值偏离均值很大且很少回到先前的值自相关系数很快趋向0，相关系数对于任何滞后期k都在1附近中心极限定理适用中心极限定理不适用通过读图辨别非平稳性纯粹的随机游走和带漂移的随机游走的图示如下图例另见讲义P30纯粹的随机游走过程在整个时间段内，不显示任何上升或者下降的趋势，也不显示趋向于一个给定的均值的趋势（比如汇率）；而带漂移的随机游走的时间路径有确定性的趋势主导（例如货币供给，GNP等）。这些序列可以从一个长期的确定性的趋势中得到。在小样本的情形下，很难区分出纯粹的随机游走和带漂移的随机游走。漂移的绝对值较小，或者冲击的方差较大，都将掩盖带漂移的随机游走的长期中所具有的趋势。同时要区分（具有确定性趋势的）平稳AR过程和（带漂移的）随机游走也不是很容易的。