微分与积分中值定理及其应用.pdf

--第二讲微分与积分中值定理及其应用。错误!未定义书签ﻩ微积分中值定理1。错误!未定义书签ﻩ微分中值定理1.１。错误!未定义书签ﻩ积分中值定理１．2２微积分中值定理的应用......................错误!未定义书签。。错误!未定义书签ﻩ证明方程根(零点)的存在性４.1。错误!未定义书签ﻩ进行估值运算4．2。错误!未定义书签ﻩ证明函数的单调性４.3ﻩ求极限8４.4。错误!未定义书签ﻩ证明不等式4．５引言Ｒoｌle定理,Laｇｒange中值定理，Cauchｙ中值定理统称为微分中值定理。微分中值定理是数学分析中最为重要的内容之一，它是利用导数来研究函数在区间上整体性质的基础，是联系闭区间上实函数与其导函数的桥梁与纽带,具有重要的理论价值与使用价值。1微积分中值定理微分中值定理罗尔(Rｏllｅ)定理:若函数f满足如下条件（ⅰ)f在闭区间[a，b]上连续;(ⅱ）f在开区间（a,b）内可导；(ⅲ)f(a)f(b),则在（a,b）内至少存在一点，使得f()0.朗格朗日（Lagrａnｇe)中值定理：设函数f满足如下条件:(ⅰ)f在闭区间[ａ,ｂ］上连续;（ⅱ)f在开区间(a,b)上可导；----则在(a,ｂ）内至少存在一点，使得f(b)f(a)f()．ba柯西中值定理:设函数f和g满足(ⅰ)在［a,b]上都连续；(ⅱ)在(ａ，ｂ)内都可导；(ⅲ)f'(x)和g'(x)不同时为零;(ⅳ)g(x)g(b),则存在(a,b)，使得f()f(b)f(a)．g()g(b)g(a)微分中值定理的推广罗尔定理的推广定理１:设函数f(x)在(ａ,b)内可导,且有limf(x)f(a0)f(b0)limf(x)A(A为有限值或或),则存在点xaxb(a,b)，使得f()0.证明：首先对A为有限值进行论证:f(x),x(a,b)令F(x)A,xa或xb则易知函数f(x)在[a,ｂ]上连续，在(a,b）内可导且F(a)F(b)．由Roｌle定理可知,在（a,b)内至少存在一点，使得F()0,而在(a,b)内有F(x)f(x),所以f()0．其次对A=(）进行论证：由引理1，f(x)在（a,b）内能取得最小值(最大值）.不妨设:函数f(x)在(a,b)处取得最小值(最大值）.此时函数f(x)在(a,b)处也就取得极小值(极大值)．又因为f(x)在(a,b)处可导，由Ferｍａt引理，可得f()0．综上所述,从而定理得证.定理2:设函数f(x)在(ａ,)，内可导，且limf(x)limf(x)，证明:在（a，）xax中存在一点,使得f()0．定理3:设函数f(x)在(,ｂ),内可导，且limf(x)limf(x)，证明：在（,ｂ)xxb----中存在一点，使得f()0．定理4:设函数f(x)在(，),内可导，且limf(x)limf(x),证明：在（，xx）中存在一点，使得f()0．朗格朗日中值定理的推广定理5：如果函数f(x)满足条件：在开区间（a,ｂ）上可导且limf(x)f(a0)f(a),limf(x)f(b0)存在，则在（a,ｂ)内至少存在一点，使xaxbf(b)f(a)得f().ba柯西中值定理的推广定理6:如果函数f(ｘ)和Ｆ(x）满足条件：①都在有限区间（a，b)内可导；②limf(x)m,limf(x)M,limF(x)m,limF(x)M;1122xaxbxaxb③x(a,b),有F'(x)0;则在(a,b)内至少有一点，使得f'()Mm11F'()Mm22证明：作辅助函数A（x）,Ｂ(ｘ),并且令f(x)x(a,b)时，F(x)x(a,b)时，A(x)mxa时，B(x)mxa时，12Mxb时，Mxb时，12则A（x),B(x)在闭区间［a,b]上连续，开区间（a，b)内可导，且对x(a,b),B'(x)0,由Ｃauｃｈｙ中值定理可知，至少有一点(a,b)使得A'()A(b)A(a)B'()B(b)B(a)又当x(a,b)时，A(x)f(x),B(x)F(x)A'()f'()A(b)A(a)Mm∴11B'()F'()B(b)B(a)Mm22----f'()Mm即：11F'()Mm221．２积分中值定理积分中值定理：若f(x)在区间[ａ,b］上连续,则在[a，b]上至少存在一点使得bfxdxfba,ab．a积分中值定理的推广推广的积