考研高数必考题型.pdf

高数必考题型之一：求极限无论数学一、数学二还是数学三，求极限是高等数学的基本要求，所以也是每年必考的内容。区别在于有时以4分小题形式出现，题目简单;有时以大题出现，需要使用的方法综合性强。比如大题可能需要用到等价无穷小代换、泰勒展开式、洛比达法则、分离因子、重要极限等中的几种方法，有时考生需要选择其中简单易行的组合完成题目。另外，分段函数个别点处的导数，函数图形的渐近线，以极限形式定义的函数的连续性、可导性的研究等也需要使用极限手段达到目的，须引起重视！下面是求极限的16种方法：1.等价无穷小的转化：只能在乘除时候使用，但并不是说一定在加减时候不能用,使用前提是必须证明拆分后极限依然存在。ex1或者1xa1~axx0等等这些要全部熟记；还有，x趋近无穷的时候还原成无穷小；2.洛必达法则：大题目有时候会有暗示，要你使用这个方法。首先它的使用有严格的使用前提——必须是X趋近而不是N趋近！所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限；当然n趋近是x趋近的一种情况，也是必要条件；同时，数列极限的n当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷；必须是函数的导数要存在！假如告诉你g（x）,但未告诉你是否可导，直接用无疑于找死哦！！必须是0比0无穷大比无穷大！当然还要分式分母不能为0。洛必达法则分为三种情况1）0比0无穷比无穷时直接用；2）0乘以无穷，无穷减去无穷，应为无穷大于无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式。通项之后即变成1中的形式；3）0的0次方,1的无穷次方,无穷的0次方,对于（指数幂数）方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，（这就是为什么只有三种形式的原因。lnx两端都趋近于无穷时候它的幂移下来趋近于0，当它的幂移下来趋近于无穷的时候，lnx趋近于0）；3.泰勒公式：含有ex次方的时候，尤其是含有正余弦的加减的时候要特别注意！！ex展开、sinx展开、cosx展开、ln(1+x)展开，对题目简化有很好帮助；4.面对无穷大比上无穷大形式的解决办法：取大头原则，最大项除分子分母！看上去复杂处理很简单！5.无穷小于有界函数的处理办法：面对复杂函数时候，尤其是正余旋的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要**这个方法。面对非常复杂的函数，可能只需要知道它的范围结果就出来了！6.夹逼定理：主要对付的是数列极限。这个主要是看极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大；7.等比等差数列公式应用：对付数列极限。q绝对值符号要小于1；8.各项的拆分相加：用来消掉中间的大多数，对付的还是数列极限。可以使用待定系数法来拆分化简函数；9.求左右求极限的方式：对付数列极限。例如知道x与x的关系，已知x的极限存nn1n在的情况下，x的极限与x的极限时一样的，应为极限去掉有限项目极限值不变化；nn1sinxlim1x10.两个重要极限的应用：x01lim1xxex011.当趋近于无穷大时候，不同函数趋近于无穷的速度是不一样的：xxx!axxalnx(画图也能看出速率的快)。当x趋近无穷的时候，他们的比值极限一眼就能看出来了；12.换元法：一种技巧，对于某一道题目，不会只需要换元，但是换元会夹杂其中；13.四则运算法：假如要算的话，四则运算法则也算一种方法，当然也是夹杂其中的；14.转化为定积分：对付数列极限的一种方法，就是当你面对题目实在是没有办法，走投无路的时候可以考虑转化为定积分。一般是从0到1的形式；15.单调有界的性质：对付递推数列时候使用，证明单调性；16.直接使用求导数的定义来求极限：一般都是x趋近于0时候，在分子上f（x加减个值）加减f（x）的形式。遇到后要特别注意：当题目中告诉你F(0)=0，f(0)0的时候，就是暗示你一定要用导数定义！高数必考题型之二：利用中值定理证明等式或不等式证明题虽不能说每年一定考，但也基本上十年有九年都会涉及。等式的证明包括使用4个微分中值定理，1个积分中值定理；不等式的证明有时可使用中值定理。其中，泰勒中值定理的使用是一个难点，但考查的概率不大。利用中值定理证明等式或不等式：在证明不等式时，出现“”和“”的形式，并且在和上满足拉格朗日中值定理条件，则可以将不等式根据拉格朗日中值定理进行变换在证明；若在不等式的两边出现“f(b)-f(a)”型，另一边出现“b-a”型，则可将不等式变形为含“”型。若同时在和上满足拉格朗日中值定理条件，则利用拉格朗日中值定理条件进行证明。若只出现“”型，则构造“”型。例1.证明：当时，.分析：通过观察，不等式中“”为“”型，令，可知在上连续。当时,在上连续,则在区间上满足拉格朗日中值定理。证明：由于，则有，即.例2.，.分析：通过观察发现此不等式为“”型。令，则在区间和上满足