【新导学案】高中数学人教版必修四：2.doc

2.2.3《向量数乘运算及其几何意义》导学案【学习目标】1．掌握实数与向量的积的定义以及实数与向量的积的三条运算律，会利用实数与向量的积的运算律进行有关的计算；2．理解两个向量平行的充要条件，能根据条件判断两个向量是否平行；[来源:学科网]3．通过对实数与向量的积的学习培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力，了解事物运动变化的辩证思想。【重点难点】重点：实数与向量的积的定义、运算律，向量平行的充要条件；难点：理解实数与向量的积的定义，向量平行的充要条件。【学法指导】通过对比物理中的一些向量与数量之间的运算关系，引入向量与数量之间的乘法运算，同时也为该运算赋予其物理意义。【知识链接】引入：位移、力、速度、加速度等都是向量，而时间、质量等都是数量，这些向量与数量的关系常常在物理公式中体现。如力与加速度的关系，位移与速度的关系。这些公式都是实数与向量间的关系。师：我们已经学习了向量的加法，请同学们作出和向量，并请同学们指出相加后，和的长度与方向有什么变化？这些变化与哪些因素有关？生：师：很好！本节课我们就来讨论实数与向量的乘积问题，（板书课题：实数与向量的乘积）【学习过程】1、探索研究1）定义：请大家根据上述问题并作一下类比，看看怎样定义实数与向量的积？（可结合教材思考）可根据小学算术中的解释，类比规定：实数与向量的积就是，它还是一个向量，但要对实数与向量相乘的含义作一番解释才行。实数与向量的积是一个向量，记作.它的长度和方向规定如下：[来源:学.科.网]（1）.（2）.2）运算律：问：求作向量和（为非零向量）并进行比较，向量与向量相等吗？（引导学生从模的大小与方向两个方面进行比较）生：.师：设、为任意向量，、为任意实数，则有：（1）；（2）；（3）.通常将（2）称为结合律，（1）（3）称为分配律。小练习1：计算：（1）；（2）；（3）.3）向量平行的充要条件：请同学们观察，，回答、有何关系？生：.引导：若、是平行向量，能否得出？为什么？可得出吗？为什么？生：.师：由此可得向量平行的充要条件：向量与非零向量平行的充要条件是有且仅有一个实数，使得.对此定理的证明，是两层来说明的：其一，若存在实数，使，则由实数与向量乘积定义中第(2)条可知与平行，即与平行.其二，若与平行，且不妨令，设（这是实数概念）．接下来看、方向如何：①、同向，则，②若、反向，则记，总而言之，存在实数（或）使.小练习2：如图：已知，，试判断与是否平行．解：∵∴与平行.4）单位向量：单位向量：模为1的向量.向量（）的单位向量：与同方向的单位向量，记作.[来源:学*科*网]思考：如何用来表示？2．例题与练习：题1：如图，在中，是的中点，是延长线上的点，且，是根据下列要求表示向量：用、表示；（2）用、表示.题2：如图，在中，已知、分别是、的中点，用向量方法证明：[来源:Z*xx*k.Com]题3：如图，已知，，，求证：∽[来源:Zxxk.Com]练习：P1451、2、3、4【学习反思】（1）与的积还是向量，与是共线的；（2）向量平行的充要条件的内容和证明思路，也是应用该结论解决问题的思路。该结论主要用于证明点共线、求系数、证直线平行等题型问题；（3）运算律暗示我们，化简向量代数式就像计算多项式一样去合并同类项。4．作业布置：练习部分P88-89习题3A组2、3、4、5.