(完整版)考研数学《概率论与数理统计》知识点总结-推荐文档.doc

第一章概率论的基本概念定义：随机试验E的每个结果样本点组成样本空间S，S的子集为E的随机事件，单个样本点为基本事件．事件关系：1．AB，A发生必导致B发生．2．AB和事件，A，B至少一个发生，AB发生．3．AB记AB积事件，A，B同时发生，AB发生．4．A－B差事件，A发生，B不发生，A－B发生．5．AB=Ø，A与B互不相容(互斥)，A与B不能同时发生，基本事件两两互不相容．6．AB=S且AB=Ø，A与B互为逆事件或对立事件，A与B中必有且仅有一个发生，记B=．事件运算：交换律、结合律、分配率略．德摩根律：，．概率：概率就是n趋向无穷时的频率，记P(A)．概率性质:1．P(Ø)=0．2．(有限可加性)P(A1A2…An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)，Ai互不相容．3．若AB，则P(B－A)=P(B)－P(A)．4．对任意事件A，有．5．P(AB)=P(A)+P(B)－P(AB)．古典概型：即等可能概型，满足：1．S包含有限个元素．2．每个基本事件发生的可能性相同．等概公式：．超几何分布：，其中．条件概率：．乘法定理：．全概率公式：，其中为S的划分．贝叶斯公式：，或．独立性：满足P(AB)=P(A)P(B)，则A，B相互独立，简称A，B独立．定理一：A，B独立，则．P(B|A)=P(B)．定理二：A，B独立，则A与，与，与也相互独立．随机变量及其分布(0—1)分布：，k=0，1（0<p<1）．伯努利实验：实验只有两个可能的结果：A及．二项式分布：记X~b（n，p），．n重伯努利实验：独立且每次试验概率保持不变．其中A发生k次，即二项式分布．泊松分布：记X~π（λ），，．泊松定理：，其中．当，应用泊松定理近似效果颇佳．随机变量分布函数：，．．连续型随机变量：，X为连续型随机变量，为X的概率密度函数，简称概率密度．概率密度性质：1．；2．；3．；4．，f(x)在x点连续；5．P{X=a}=0．均匀分布：记X~U(a，b)；；．性质：对a≤c<c+l≤b，有指数分布：；．无记忆性：．正态分布：记；；．性质：1．f(x)关于x=μ对称，且P{μ-h<X≤μ}=P{μ<X≤μ+h}；2．有最大值f(μ)=()-1．标准正态分布：；．即μ=0，σ=1时的正态分布X~N(0，1)性质：．正态分布的线性转化：对有；且有．正态分布概率转化：；．3σ法则：P=Φ(1)－Φ(-1)=68.26%；P=Φ(2)－Φ(-2)=95.44%；P=Φ(3)－Φ(-3)=99.74%，P多落在(μ-3σ，μ+3σ)内．上ɑ分位点：对X~N(0，1)，若zα满足条件P{X>zα}=α，0<α<1，则称点zα为标准正态分布的上α分位点．常用上ɑ分位点：0.0010.0050.010.0250.050.103.0902.5762.3261.9601.6451.282Y服从自由度为1的χ2分布：设X密度函数fX(x)，，若Y=X2，则若设X~N(0，1)，则有定理：设X密度函数fX(x)，设g(x)处处可导且恒有g′(x)>0(或g′(x)<0)，则Y=g(X)是连续型随机变量，且有h(y)是g(x)的反函数；=1\*GB3\*MERGEFORMAT①若，则α=min{g(−∞)，g(+∞)}，β=max{g(−∞)，g(+∞)}；=2\*GB3\*MERGEFORMAT②若fX(x)在[a，b]外等于零，g(x)在[a，b]上单调，则α=min{g(a)，g(b)}，β=max{g(a)，g(b)}．应用：Y=aX+b~N(aμ+b，(|a|σ)2)．多维随机变量及其分布二维随机变量的分布函数：分布函数(联合分布函数)：，记作：．．F（x，y）性质：1．F（x，y）是x和y的不减函数，即x2>x1时，F（x2，y）≥F（x1，y）；y2>y1时，F（x，y2）≥F（x，y1）．2．0≤F（x，y）≤1且F（−∞，y）=0，F（x，−∞）=0，F（−∞，−∞）=0，F（+∞，+∞）=1．3．F（x+0，y）=F（x，y），F（x，y+0）=F（x，y），即F（x，y）关于x右连续，关于y也右连续．4．对于任意的(x1，y1)，(x2，y2)，x2>x1，y2>y1，有P{x1<X≤x2，y1<Y≤y2}≥0．离散型（X，Y）：，，．连续型（X，Y）：．f(x，y