等差数列及其前n项和-复习讲义.doc

等差数列及其前n项和-复习讲义一、知识梳理1．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d，(n，m∈N*)．(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n，(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.(3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d.(4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．(5)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．2．等差数列的前n项和公式设等差数列{an}的公差为d，其前n项和Sn＝eq\f(na1＋an,2)或Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d.3．等差数列的前n项和公式与函数的关系Sn＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n.数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A、B为常数)．4．等差数列的最值在等差数列{an}中，a1>0，d<0，则Sn存在最__大__值；若a1<0，d>0，则Sn存在最__小__值．5．等差数列的判断方法(1)定义法：an－an－1＝d(n≥2)；(2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2.(3)通项公式法：(4)前n项和法：6．等差数列与等差数列各项和的有关性质(1)am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等差数列，公差为kd.(2)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．(3)S2n－1＝(2n－1)an.(4)若n为偶数，则若n为奇数，则S奇－S偶＝a中(中间项)．7．等差数列与函数在d≠0时，an是关于n的一次函数，一次项系数为d；Sn是关于n的二次函数，二次项系数为eq\f(d,2)，且常数项为0.二、巩固训练1．已知等差数列{an}中，a3＋a8＝22，a6＝7，则a5＝________.答案15解析∵{an}为等差数列，∴a3＋a8＝a5＋a6＝22，∴a5＝22－a6＝22－7＝15.2．设{an}为等差数列，公差d＝－2，Sn为其前n项和，若S10＝S11，则a1等于()A．18B．20C．22D．24答案B解析因为S10＝S11，所以a11＝0.又因为a11＝a1＋10d，所以a1＝20.3．在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11等于()A．58B．88C．143D．176答案B解析S11＝eq\f(11a1＋a11,2)＝eq\f(11a4＋a8,2)＝88.4．设数列{an}，{bn}都是等差数列，若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝________.答案35解析两个等差数列的和数列仍为等差数列．设两等差数列组成的和数列为{cn}，由题意知新数列仍为等差数列且c1＝7，c3＝21，则c5＝2c3－c1＝2×21－7＝35.5．如果等差数列中,,那么（）A．14B．21C．28D．35【答案】C【解析】因为,所以,所以.6．等差数列{an}中，a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，则此数列前20项和等于________．解析：由已知可得(a1＋a2＋a3)＋(a18＋a19＋a20)＝－24＋78⇒(a1＋a20)＋(a2＋a19)＋(a3＋a18)＝54⇒a1＋a20＝18⇒S20＝eq\f(a1＋a20,2)×20＝eq\f(18,2)×20＝180.7．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，，则k等于()A．8B．7C．6D．5答案D解析∵Sk＋2－Sk＝ak＋1＋ak＋2＝a1＋kd＋a1＋(k＋1)d＝2a1＋(2k＋1)d＝2×1＋(2k＋1)×2＝4k＋4＝24，∴k＝5.8．设等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn，若对任意自然数n都有eq\f(Sn,Tn)＝eq\f(2n－3,4n－3)，则eq\f(a9,b5＋b7)＋eq\f(a3,b8＋b4)的值为________．答案eq\f(19,41)解析∵{an}，{bn}为等差数列，∴eq\f(a9,b5＋b7)＋eq\f(a3,b8＋b4)＝eq\f(a9,2b6)＋eq\f(a3,2b6)＝eq\f(a9＋a3,2b6)＝eq\f(a6,b6).∵eq\f(S11,T11)＝eq\f(a1＋a11,b1＋b11)＝eq\f(2a6,2b6)＝eq\f(2×11－3,4×11－3)＝eq\f(19,41)，∴eq\f(a6,b6)＝eq\f(19,41).9．下面是