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数学史命题I.1在已知有限直线上作等边三角形。证明欧几里得开始先作已知线段AB，如图2．2所示。然后，他以A为圆心，以AB为半径，作圆；再以B为圆心，以AB为半径，作第二个圆。当然，这两个圆都应用了公设3，而且，在从纸上拿起圆规时，不要求圆规保持打开状态。设C为两圆交点。欧几里得根据公设1作直线CA和CB，然后，宣布△ABC是等边三角形。因为根据定义15这是一个非常简单的证明，只应用了两个公设，一个公理和两个定义，乍一看，似乎很完美。但遗憾的是，这个证明是有缺点的。即使古希腊人，不论他们对《原本》评价多高，也都看出了欧几里得最初论证的逻辑缺陷。问题出在C点上。欧几里得如何证明两个圆实际上一定会相交呢？他怎么知道这两个圆不会以某种方法相互通过而不相交呢？显然，由于这是他的第一个命题，他以前并没有证明过这两个圆必然相交。而且，在他的公设或公理中，也都没有提到这个问题。对C点存在的唯一证明就是图中的明确表示。但问题就在这里。因为如果说欧几里得想从他的几何中排除什么，那就是代替了证明的对图的依据，根据他自己的基本规则，证明必须建立在逻辑基础上，必须建立在依据公设和公理所做的谨慎的推理基础上，一切结论最终都必须来源于此。欧几里得“让图说话”，就违背了他给自己制定的规则。并且，如果我们想从图中得出结论，我们完全可以根据观察来判明命题1.1，即所作三角形看起来是等边三角形。如果我们求助于这种视觉判断，那么，一切都不再成立。现代几何学家认为，需要增加一个公设，以作为判定这两个圆必定相交的理论根据，这一公设有时称之为“连续性公设”。他们还引入了其他公设，以弥补《原本》中这里或那里出现的类似缺陷。本世纪初，数学家戴维•希尔伯特（1862—1943年）依据20个公设演绎出他自己的几何学，堵塞了欧几里得的许多漏洞。因而，1902年，伯特兰•罗素对欧几里得的著作给予了否定的评价：“他的定义并非总是确定的，他的公理也不是都无法证明，他的论证需要许多公理，而他自己却没有意识到。严谨的证明应在没有图形辅助时依然保持其论证的力量，但欧几里得的许多早期证明却不能如此……他的著作作为逻辑名作的价值在很大程度上被夸大了。”大家公认，欧几里得在以图像、而不是以逻辑为先导时，他不过是没做应该做的事。而在他全部465个命题中，并没有一处做了不该做的事。他的465个定理，没有一个是虚假的。只要对他的证明作一些小小的改动，并增加一些遗漏的公设，他的全部命题就能够经受住时间的考验。那些赞同罗素观点的人不妨首先将欧几里得的著作与希腊天文学家、化学家或物理学家的著作作一番比较。用现代标准来看，那些古希腊科学家真正是处于原始状态，今天，没有一个人会依据这些古代科学家的著作来解释月球的运动或肝脏的功能。但与此相反，我们经常可以请教欧几里得。他的著作是一项永恒的成就。它无须依赖收集数据或创造更精密的仪器。一切只需敏锐的理性，而欧几里得恰恰高于理性。命题I.2和I.3巧妙解决了前面提到的在没有移动圆规的明确公设情况下转移长度的问题；而命题I.4则是欧几里得的第一个全等命题。用现代话说，这一命题就是“边角边”或“SAS”三角形全等模式，对此，读者应回想起中学几何课上学过的知识。命题I.4设定，如果有两个三角形，其中一个三角形的两条边及其夹角分别与另一个三角形的两条边及其夹角相等，则这两个三角形全等（图2.3）。他拿起△DEF，放到△ABC上，并证明，两个三角形完全重合。这种用叠加方式证明的方法早已不受欢迎。并且，谁能说当图形在纸上移动的时候，它们不会变形或扭曲呢？希尔伯特认识到了这种危险，他实质上已将SAS作为他的公理Ⅳ.6。命题I.5确定等腰三角形的两个底角相等。这一定理以“笨人不过桥”著称。之所以有此说法，一则是因为欧几里得的图形有点儿像一座桥；再则是因为，许多差些的学生都难于理解这一定理的逻辑，因此，也就无法跨过这座桥，进入《原本》的其它部分。接下来的命题，即命题I．6，是命题I．5的逆命题。该命题确定，如果一个三角形的两个底角相等，则这个三角形是等腰三角形。显然，逻辑学家对定理及其逆定理极感兴趣，所以，欧几里得在证明一个命题后，常常会插入逆命题证明，即使省略或延迟这一证明都不致损害他著作的逻辑。欧几里得的第二个三角形全等模式——“边边边”或“SSS”，写入了命题I.8。这一命题确定，如果有两个三角形，其中一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边相等，则这三条边所对应的两个三角形全等。