离散数学考前综合复习资料.doc

《离散数学》综合复习资料一、判断题1．A、B、C是任意命题公式，如果ACBC，一定有AB。（）2．设<A，*>是一个代数系统，且集合A中元素的个数大于1。如果该代数系统中存在幺元e和零元，则e。（）3．A、B、C为任意集合，已知AB=AC，必须有B=C。（）自然数集是可数的。（）命题联结词{，，}是最小联结词组。（）有理数集是可数的。（）交换群必是循环群。（）图G的邻接矩阵A，Al中的i行j列表示结点vi到vj长度为l路的数目。（）二、解答题求命题公式(PQ)的主析取范式。举出A={a,b,c}上的二元关系R和S满足：（1）R既不是自反的又不是反自反的，既是对称的又是反对称的；（2）S既不是对称的又不是反对称的，是传递的。以下哪些是函数？哪些是入射？哪些是满射？对任意一个双射，写出它们的逆函数。f:NQ,f(x)=1/xf:RRRR,f(x,y)=<y+1,x+1>判断下列代数系统是否是群，并说明理由：(1)<R，->：实数集关于减法；(2)<I，+>：整数集关于加法；5.构造一非空偏序集，它存在一子集有上界，但没有最小上界。它还有一子集，存在最大下界但没有最小元。dbeca6.画一个有欧拉回路，但没有汉密尔顿回路的图。7.将下列命题符号化（1）如果张三和李四都不去，她就去。（（PQ）R）（2）今天要么是晴天，要么是雨天。（PQ）v4V5v1v2v30100010100010000000100010A(G)=8.设G=<V,E>，V={V1,V2,V3,V4}的邻接矩阵：（1）试画出该图。（2）V2的入度d-(V2)和出度d+(V2)是多少？（3）利用邻接矩阵的性质求从V1到V2长度为3的路有几条？9.将下列命题符号化（1）除非你走否则我留下。（2）我们不能边看电视边看报。10.设集合A有m个元素，B有n个元素，则A到B的关系有多少个？A到B的函数有多少个？11.设有一组权3、4、13、5、6、12，（1）求相应的最优树（要求构造的过程中，每个分支点的左儿子的权小于右儿子的权）。（2）设上述权值分别对应英文字母b、d、e、g、o、y，试根据求得的最优树构造前缀码，并对二进制序列10001011译码。三、证明题设R,S是A上的等价关系，证明RS也是A上的等价关系。设f和g都是群<A，*>到<B，eq\o\ac(○,*)>的同态，令H={x|xA，f(x)=g(x)}，试证：<H，*>是<A，*>的子群。当且仅当连通图的每条边均为割边时，该连通图才是一棵树。f是群<G,°>到群<G’,*>的同态映射，e’是G’中的幺元则，f的同态核K={x|xG且f(x)=e’}构成的代数系统<K,°>是<G,°>的子群。证明当且仅当G的一条边e不包含在G的回路中时，e才是G的割边。设f是从A到B的一个函数，定义A上的关系R：aRb当且仅当f(a)=f(b)，证明：R是A上的等价关系。代数系统<I,+>是一个群，设B={x|x=5n,nI}，证明：<B,+>是<I,+>的子群。连通图至少有一棵生成树《离散数学》综合复习资料答案一、判断题题号12345678答案╳√╳√╳√╳√二、解答题1、求命题公式(PQ)的主析取范式。解：(PQ)(PQ)PQ解：（1）R={<a,a>,<b,b>}S={<a,a>,<b,b><a,b>,<b,a><a,c>}3、以下哪些是函数？哪些是入射？哪些是满射？对任意一个双射，写出它们的逆函数。f:NQ,f(x)=1/xf:RRRR,f(x,y)=<y+1,x+1>解：（1）不是函数，在x=0时无定义。函数，双射，f-1(x,y)=<y-1,x-1>4、判断下列代数系统是否是群，并说明理由：(1)<R，->：实数集关于减法；(2)<I，+>：整数集关于加法；解：（1）+在R上是封闭的，不可结合所以<R，->不是群；（2）+在I上是封闭的，可结合的，幺元是0，I中任意元素x的逆元为-x，所以<I，+>是群；5、构造一非空偏序集，它存在一子集有上界，但没有最小上界。它还有一子集，存在最大下界但没有最小元。解：右图所示哈斯图表示一个偏序集，其中：子集B={b，c}有上界d，e但没有最小上界，同时子集B={b，c}有最大下界a，但没有最小元。6、画一个有欧拉回路，但没有汉密尔顿回路的图。解：7、将下列命题符号化（1）如果张三和李四都不去，她就去。（（PQ）R）（2）今天要么是晴天，要么是雨天。（PQ）v4V5v1v2v30100010100010000000100010A(G)=8、解：（1）如右上图（2）d-(V2)=2，d+(V2)=2（3）因为a(3)12=2，所以V1到V2长度为3的路有2条。9．将下列命题符号化